Выражение смешанного произведения через координаты векторов
Теорема 3. Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде
.
Доказательство. .
По теореме о векторном произведении:
.
Умножим векторное произведение скалярно на вектор :
.
По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:
компланарны.
Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдра АВСD.
Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:
.
Координаты векторов .
По теореме 3
.