I. Определение эллипса. Вывод канонического уравнения.

Опр. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояния которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Подставим в (1), получим + =2a -уравнения эллипсиса в выбранной системе координат Упростим данное уравнение.

(c;0)

Обозначим – фокусы,

– расстояние между фокусами.

М – производная точка эллипса.

2а – постоянная величина, равная сумме расстояний от М до

=const=2a (1) – определение эллипса

2a>2c a>c (две стороны больше одной)

Введем систему координат следующим образом: ось OX проведем через фокусы , начало координат поместим в середину отрезка . Ось OY через середину OX.

 

М(x;y) – произведения точка эллипса

(c;0), (–c;0) – фокусы эллипса

Подставим в (1), получим (2) – уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Упростим данное уравнение:

Возведем обе части в квадрат:

Разделим на (-4):

Возведем в квадрат:

Разделим на :

Обозначим:

(3) – каноническое уравнение эллипса, где