Полярные координаты

Пусть на плоскости дана точка О – полюс и луч ОР – полярная ось. Тогда положение точки М на плоскости определят полярный угол и радиус-вектор
r = . Если полярная ось совпадает с осями координат хОу, то

x = rcos , y = rsin (51)

и обратный переход

r = , tg = y/x. (52)

Если полюс совпадает с фокусом эллипса, гиперболы, параболы и луч ОР направлен по оси симметрии в сторону более удаленной вершины, то уравнения всех трех кривых будут одинаковы

, (53)

где – эксцентриситет, р – параметр. Для эллипса и гиперболы р = b²/a.

Уравнение типа (53) r = r( ) называется полярным уравнением. Для построения графика такой функции из полюса проводят лучи с шагом и откладывают точку на расстоянии r от полюса.

Решение типичных задач

 

Пример 18. Привести уравнение x² + y² = 4x к каноническому виду. Записать для него полярное уравнение и построить кривую.

Решение. Выполним приведение к полному квадрату: (x – 2)² + y² = 4. Это уравнение окружности с центром в (2; 0), R = 2. Переход к полярному уравнению:

r²cos² + r²sin² = 4rcos r = 4cos , .

Пример 19. Построить график функции в полярной системе координат по точкам. Значение угла менять от 0 с интервалом . Найти уравнение в прямоугольной системе координат.

Решение. Функция четная график симметричен относительно Ох.

Имеется точка разрыва . Составим таблицу значений функции.

 

j	p/8	p/4	3p/8	p/2	5p/8	3p/4	7p/8	p
r					3,6		2,6	2,5

 

Проведем лучи для всех значений и на расстоянии r от центра вдоль них выделим нужные точки, последовательно соединим их и получим график параболы.

Для перехода от r, к х, у используем соотношения: , , . Тогда = и = 5 или = х + 5. Возведем в квадрат и получим x² + y² = (х + 5)² y² = 10(х + 2,5) уравнение параболы.

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Построить графики следующих функции в полярной системе координат по точкам. Значение угла менять от 0 с интервалом, указанным в квадратных скобках. Найти уравнения в прямоугольной системе координат.

31) , [ /8]; 32) , [ /8];

33) , [ /8]; 34) , [ /12];

35) , [ /8]; 36) , [ /12];

37) , [ /12]; 38) , [ /12];