Преобразование координат на плоскости

Параллельный перенос системы координат. Имеем прямоугольную систему координат хОу с центром в точке О(0; 0) Через некоторую точку O*(a; b) проведем новые оси координат параллельные Ох, Оу, сохранив направление и масштаб. Координаты произвольной точки М(х; у) в новой системе координат x*O*y* примут значения

x* = x – a или x = x* + a,

y* = y – b или y = y* + b, (37)

т.е. параллельный перенос системы координат приводит к линейным преобразованиям координат.

Поворот системы координат. Систему координат хОу с ортами i, j повернем на угол относительно начала координат и введем новые орты i*, j*. Выразим старые орты через новые

i = cos i* – sin j*,

j = sin i* + cos j*.

Радиус вектор произвольной точки М(x; y) разложим по ортамi, j и перейдем от них к ортам i*, j*

= {x; y} = xi + yj = x(cos i* – sin j*) + y(sin i* + cos j*) =

= (xcos + ysin )i* + (–xsin + ycos )j* = {x*; y*}.

В результате получаем следующую формулу преобразования координат при повороте осей на угол

x* = xcos + ysin ,

y* = –xsin + ycos . (38)

Все возможные преобразования системы координат на плоскости сводятся к параллельному переносу и повороту осей координат.