Лекция.
Таќырыбы: Кеңістіктегі координаталар жүйесі. Кеңістіктегі аналитикалық геометрияның қарапайым есептері.
Кеңістікте үш координаталық ось өзара тікбұрыш жасап қиылысын. Олардың өлшем бірліктері (масштабтары) бірдей болсын. Олардың ортақ қиылысу нүктесін О - мен белгілеп координаталар басы деп атаймыз. Алынған жүйені кеңістіктегі тік Декарттық координаталар жүйесі деп атаймыз (1 – сызба).
Бірінші координаталық осьті х әріпімен белгілейміз. Ох осі немесе абсцисса осі деп атаймыз.
Екінші координаталық осьті y әріпімен белгілейміз. Оy осі немесе ордината осі деп атаймыз.
Үшінші координаталық осьті z әріпімен белгілейміз. Оz осі немесе аппликата осі деп атаймыз.
Кеңісітіктегі тік Декартты координаталар жүйесі кеңістікті сегіз бөлікке бөледі. Оларды октанта деп атаймыз (2 -сызба).
І октанта х > 0, y > 0, z > 0
ІІ октанта х < 0, y > 0, z > 0
ІІІ октанта х < 0, y < 0, z > 0
ІҮ октанта х > 0, y < 0, z > 0
Ү октанта х > 0, y > 0, z < 0
ҮІ октанта х < 0, y > 0, z < 0
ҮІІ октанта х < 0, y < 0, z < 0
ҮІІІ октанта х > 0, y < 0, z < 0
Кеңістікте кез- келген М (х, y, z) нүктесі берілсін. Ол жазықтық z осін бір нүктеде қияды. Ол нүктені Мz нүктесі деп белгілейміз. Тура сол сияқты М нүктесінен хОz және yОz осьтеріне параллель түзу жүргізейк. Олар сәйкесінше y осінен және х осінен Мy, Мz нүктесін қиып өтеді (3 сызба). Онда ОМх, ОМy, ОМz шамаларын М нүктесінің кеңістіктегі тік Декарттық координатасы деп атаймыз және келесі символмен беогілейміз – М(х, y, z). Мұндағы х = ОМх, y = ОМy, z = ОМz.
Кеңістіктегі тік Декарттық координаталар үшін М1 (х1, y1, z1) және М2 (х2, y2, z2) нүктелерінің арақашықтығы
(1)
формуласымен анықталады.
Кеңістіктегі М1 (х1, y1, z1), М2 (х2, y2, z2), М3 (х3, y3, z3) нүктелері берілсін және М (х, y, z) нүктесі М1 М2 кесіндісін λ қатынасына бөлінсін, онда
λ = М1 М / М М2 – формуласымен анықталады. Соған байланысты М нүктесінінң координаталары мына формулалар арқылы анықталады:
(2)
Кесіндіні берілген қатынастар бөлу формуласы.
Егер λ = 1 болса, онда кесінді қақ бөлінеді.
(3)
Цилиндрлік координаталар жүйесі.
Кеңістікте тік декарттық коодинаталардан басқа цилиндрлік координаталарда еңгізіледі. Цилиндрлік координаталар хОy жазықтығына полярлық координаталарды енгізу арқылы анықталады. Ал z осі өзгеріссіз қалады. Сонда кеңістіктегі кез-келген нүкте ρ, α, z шамалары арқылы бір мәнді анықталады.
ρ, α, z кеңістіктегі нүктенің полярлық координаталары деп аталады. Кеңістікте кез-келген М (ρ, α, z) цилиндрлік координаталар арқылы берілсін. Онда кеңістікте М нүктесі келесі түрде анықталады. Кеңістікте О нүктесімен (полюс) және х сәулесі (поляр) центры О нүктесінде радиусы ρ –ға тең шеңбер жүргізейік (4 сызба).
Кеңістіктегі тік декарттық координаталарда цилиндрлік координаталарда кеңістіктің кез-келген нүктесінің бір мәнді анықтағандықтан олардың арасында белгілі бір байланыс болуы керек. Сол байланысты анықтайық.
Кеңістікте цилиндрлік координаталарды енгізу үшін хОy жазықтығына полярлық координаталар енгізілетіндіктен, ал z осін өзгеріссіз қалдырғандықтан:
(4).
Сфералық координаталар жүйесі.
Кеңістікте тік Декарттық координаталардан басқа сфералық координаталарда енгізіледі. Кеңістіктегі сфералық координаталар ρ, α, θ шамалары арқылы бір мәнді анықталады. Мұндағы
ρ – координаталар басынан кеңістіктегі кез-келген нүктеге дейінгі арақашықтық
θ – ρ арақашықтықтан z осі арасындағы L
α – нүктенің хОy жазықтығына проекциясының х осімен арасындағы бұрышы.
Кеңістікте кез-келген М (ρ,α,θ) нүктесі арқылы берілсін. Онда ол келесі түрде анықталады. Кеңістікте кез-келген нүктемен одан шығатын сәуле алайық. Центрі О нүктесінде, радиусы О-ға шеңбер жүргізейік. Х осімен α Ә бұрыш жасайтын нүкте алайық. Табылған нүктені О нүктесімен қосайық. Шыққан сәуле шеңберді бір нүктеде қияды. Оны Р әрпімен белгілейік. Бірінші шеңберге перпендикуляр болатын z осін алайық. Центрі О нүктесінде, радиусы ρ –ға тең. Р нүктесінен өтетін және z осін қиып өтетін екінші шеңбер жүргізейік. Екінші шеңбер ойымы z осімен 0Ә бұрышы жасайтын нүкте алайық, табылған нүктені координаталар басымен қосайық. Шыққан сәуле екінші шеңберді бір нүктеде қияды. Ол ізделінді М нүктесі (5 сызба).
Z
y
х
5- сызба
Кеңістіктегі кез-келген тік Декартық координаталарда да сфералық координаталарда да кеңістіктіктің кез-келген нүктесінің бір-мәнін анықтағанда олардың арасында байланыс болады.
Х / ОMyх = cos α
x = OMxy Һ cos α = ρ sіn θ Һ cos α
y = OMxy Һ sіn α = ρ sіn θ Һ sіn α
x = ρ cos α Һ sіn θ
y = ρ sіn α Һ sіn θ
z = ρ cos θ (5)
Сфералық координаталардан декарттық координаталарға көшу формуласы.