Лекция.

Таќырыбы: Жазықтық теңдеуінің берілу тәсілдері.Екі жазықтық арасындағы бұрыш. Жазықтықтың нормаль теңдеуі. Нормальдағыш көбейткіш. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.

Жазықтықтың жалпы теңдеуін зерттеу.

Жазықтықтың Ах+Ву+Сz+D=0 жалпы теңдеуін зерттеу үшін оның коэффициенттері-нің мәндерін қарастырайық.

1) Коэффициент А = 0, болса, онда Ву + Сz + D = 0. Бұл теңдеу у z жазықтығында түзу сызықты кескіндейді. Осы түзу сызық ВСболсын. Оның бойынан бір N (y,z) нүктесін альш, одан у z жазықтығына перпендикуляр түсіріп осы перпендикулярлардың бойынан кез келген М(х, у, z) нүктесін алсақ, онда у, z координаталары

By+Cz+D = 0 теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан

Ву + Сz+D=0 тендеуі абсцисса осіне параллель болатын жазықтықты кескіндейді.

2) Егер В = 0 болса, онда Ах + Сz + D = 0. Бұл жазықтық у осінепараллель (дәлелдеуі алдыңғыдағы сияқты).

3) Егер С = 0 болса, онда Ах+Ву+D=0 жазықтығы zосіне параллель болады.

4) Егер D = 0 болса, онда Ах + Ву + Сz = 0 жазыктығы координаталардың бас нүктесінен өтеді.

5) Егер Л = 0, Б = 0 болса, онда Сг + О = 0 жазықтығы ху жазықтығына параллель болады.

6) Егер С = 0, D = 0 болca, онда Ах+Ву = 0 жазықтығы апликата осінің бойынан және координаталардын бас нүктесінен өтеді.
Бұл теңдеу координаталардын мына (0, 0, 0) мәнінде канағаттанады.

7) Егер А = В = О = 0, онда Сz = 0, z = 0 теңдеуі ху жазықтығын
кескіндейді. Сөйтіп, коэффицненттердің мәндеріне байланысты координаталар системасындағы жазықтық әр түрлі болып орналасуы мүмкін.

 

§ 7. Жазықтықтың кесінділік теңдеуі. Жазықтықтың кесінділік теқдеуін қорытып шығару үшін оның Ах + Ву + Сz+D = 0 жалпы тендеуін пайдаланайық. Бүл теңдеуді мыңадай түрде жазайық

 

Осы теңдеудіц бөліміндегі қатынастарды белгілейік:

Сонда алдындағы теңдеу мынадай болады:

(8)

Бұл теңдеу жазықтықтың кесінділік теңдеуі деп аталады. Шынында а, б, с өзіне сәйкес келетін Ох, Оу, Оz осьтерінің бойынадағы

кесінділерді көрсетеді. Осы осьтердің бойыидағы нүктелерді М1 (а, 0, 0), М2(0, б, 0), М3(0, 0, с) десек, онда бұл нүктелер арқылы жазықтық жүргізуге болады (151-сызба).М1, М2, М3 нүктелерінің координаталары (8) теңдеуді қанағаттандырады. Мысалы,М3 нүктесінің координаталарын (8) теңдеуге қойсақ, онда 0/а+0/б+С/с= 1, теңдеуінің дұрыс екендігі керінеді. Егер бұл (8) теңдеудегі у,z2-тің орнына ноль қойсақ, онда х/а+0/б+0/с= 1, яғни х = а болады. Сейтіп, кесінділік теңдеу үш осьті қиып өтетін жазықтықты кескіндейді.

Мысалы координаталар системасында мына 3х+ 2z—12 = 0 жазыктығының қалай өтетінін көрсетейік.

Ш е ш у і. Берілген жазықтықтың жалпы теңдеуін кесінділік түрге келтірейік: 3х+4у+2z=1. x/4+y/3+z/6=1.

Бүл жазықтықтың координатала системасында қалай орналасқандығы

152-сызбада көрсетілген.

 

 

 

152- сызба

 

§ 9. Берілген нүктеден өтетін жазықтыктың теңдеуі. Кеңістік-те бір М(а,б, с) нүктесі берілсін. Осы нүктеден өтетін жазықтықтын. теңдеуін қарастырайық.

Жазықтық бір нүктеден ететін болғандықтан, бұл есеп анықталмайды, яғни берілген М(а, б, с) нүктесінен өтетін жазықтықтар өте көп болуы мүмкін. Осы жазықтықтардың ішіндегі бір жазықтықтың теңдеуі мынадай болсын: Ах+Ву+Сz+D=0. Берілген М нүктесінің координаталары бұл теңдеуді қанағаттандыратын бол-ғандықтан, мынадай теңбе-теңдік шығады: Аа + Вb+.Сс+D = 0.

Енді бірінші теңдеуден соңғы теңдеуді алсақ, онда іздеген тең-деуімізді табамыз:

А(х-а)+В(у-b)+С(z-с)=0.

Ағымдық координаталарға байланысты теңдеу бірінші дәреже-лі болады. Сондықтан мына А, В, С коэффициенттерінін, белгілі мәндсрінде бүл тсңдеу М (а, Ь, с) нүктесінен өтетін жазықтықтың теңдеуі болады. А, В, С коэффициенттерінің әр түрлі мәндеріне сәй-ксс бір иүктеден көп жазықтықтар өтеді.

 

Жазықтықтың нормаланған теңдеуі

q – кез келген жазықтықболсын. /204-сурет/. Координаталар бас нүктесінен q жазықтығына дейінгі қашықтықты р арқылы, ал q жазықтығының нормальдық векторы мен координаталар осьтерінің арасындағы бұрыштарды арқылы белгілейік. Жазықтықтың кеңістікте орналасуы және р шамаларының берілуімен толық анықталатыны айқын. q жазықтығының теңдеуін осы шамалар арқылы өрнектейік.

М0 – координаталар бас нүктесі арқылы q жазықтығына перпендикуляр өтетін түзудің осы жазықтықпен қиылысу нүктесі, - q жазықтығының бірлік нормальдық векторы болсын. М0 нүктесі мен векторының координаталары берілген және р шамалары арқылы былай өрнектеледі: , . нүктесі арқылы өтетін және нормальдық векторы /А;В;С/ нүтесі арқылы болатын жазықтықтың теңдеуін алдық: . Осы теңдеуге М0 нүктесі мен векторының координаталарын қойып, q жазықтығының теңдеуін аламыз:

,

немесе

.

- бірлік векторының координаталары болғандықтан , демек,

. (1)

(1) теңдеуі жазықтықтың нормаланған теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеуде х,у және z айнымалыларының коэффициенттері жазықтықтың бірлік нормальдық векторының координаталары болады, ал бос мүше /-р/ «минусң таңбасымен алынған координаталар бас нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтыққа тең.

/204-сурет/

Мысал, теңдеуі нормаланған жатпайды, өйткені векторы бірлік вектор емес және теңдеудегі бос мүшесі оң таңбалы. Берілген теңдеуді -ге көбейтелік. Алынған теңдеу нормаланған болады, өйткені -бірлік вектор екенін оңай тесеруге болады, ал теңдіктің бос мүшесі теріс таңбалы. Қарастырып отырған жазықтықтың нормальдық векторы координаталар осьтерімен бұрыштарын жасайды, сонда , яғни . Жазықтық координаталар бас нүктесінен 10 бірлік қашықтықта өтеді.

Жазықтықтың жалпы теңдеуін әрқашан нормаланған теңдеуге келтіруге болады. Ол үшін теңдеудің екі жағын да болғанда , ал болғанда - нормалаушы көбейткішке көбейту керек. Шынында да, егер болса, онда

теңдеуі нормаланған теңдеу болады, өйткені

векторы бірлік вектор және . Егер, болса,онда

теңдеуі нормаланған теңдеуі болады.

Есеп.Координаталар бас нүктесінен жазықтығына дейінгі қашықтықты есептеу керек.

Шешуі. болғандықтан, нормалаушы көбейткіш -ге тең.Берілген жазықтықтың нормаланған теңдеуі

болады. Жазықтықтың нормаланған теңдеуінің бос мүшесінің геометриялық мағынасын ескеріп, іздеген қашықтықтың 25-ке тең екенін аламыз.

 

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық

Кез келген нүктесінен өзінің нормаланған теңдеуімен берілген q жазықтығына дейінгі қашықтықты табайық. Бұл қашықтық М1К кесіндісінің ұзындығына тең,

К - М1 нүктесінің q жазықтығына проекциясы /205-сурет/. М0 - q жазықтығының координаталар бас нүктесі арқылы осы жазықтыққа жүргізіл-

z M1 k n d 0 M0 k y і j x

ген перпендикулярмен қиылысу нүктесі; - q жазықтығының бірлік нормальдық векторы болсын. Іздеген қашықтық векторының мен векторы бағытына проекциясының модуліне тең. Сонымен,

векторының бағытына проекциясын осы векторлардың скалярлық көбейтіндісі арқылы өрнектейік. және болғандықтан, және , демек,

(2)

Сонымен, нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық жазықтықтың нормаланған теңдеуінің координаталарын қойғаннан шыққан санның модуліне тең.

 

Есеп. М(0;1;1) нүктесінен жазықтығына дейінгі қашықтықты анықтау керек.

Шешуі. Жазықтықтың теңдеуін нормалдаймыз. Нормалаушы көбейткіш ге тең болғандықтан, теңдеуін аламыз. (2) формуласы бойынша қашықтықты табамыз: .