Барицентрическая система координат на прямой

 

На прямой E¹ введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную пару точек (A₁, A₂).

 

РИС.16

 

Как было показано в §6 каждой точке A прямой E¹, на которой отмечены две различные точки A₁ и A₂, можно однозначно сопоставить число l, в котором эта точка делит отрезок [A₁A₂], при этом для декартовых координат точек справедливо равенство: .

Обозначение: вместо записи введем формальную запись A = (1-l)A₁ + lA₂ (*). Эта запись формальна в том смысле, что мы не рассматриваем умножение на число точки или сумму точек, запись вида (*) мы интерпретируем так: «Точка A делит отрезок [A₁A₂] в отношении l», или так: «Декартовы координаты точек A₁, A₂, B таковы, что ».

 

Определим отображение b: E¹ ® {(l₁,l₂) | l₁,l₂ Î R , l₁ + l₂ = 1} (**) по следующей формуле: b (A) = (l₁,l₂), если A = l₁A₁ + l₂A₂ (то есть точка A делит отрезок [A₁ A₂] в отношении l₂).

 

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (см. § 6).

 

Определение.Отображение b (**) будем назвать барицентрической системой координат на прямой.

 

Определение. Упорядоченный набор (l₁, l₂) такой, что b(A) = (l₁,l₂) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

 

Пример. Барицентрические координаты середины отрезка [A₁A₂] это набор .