Медиана для интервального ряда
Квантили
Квантили - величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей. Наиболее известные – медиана, квартили, децили, перцентили.
1) Самый известный квантиль – медиана, делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.
Медиана для дискретного ряда.
Для определения медианы в дискретном ряду сначала порядковый номер медианы по формуле: 
, а затем определяют, какое значение признака обладает накопленной частотой, равной номеру медианы.
Если ряд содержит четноечисло элементов, то номер медианы будет нецелым числом и медиана будет равна средней из двух значений признака, находящихся в середине.Номер первого из этих признаков – целая часть номера медианы, для второго - номер медианы, округленный до целого числа.
Медиана для интервального ряда
При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана.
Для этого:
1) определяется номер медианы по формуле: 
,
2) затем по накопленной частоте определяется интервал, в который входит элемент с таким номером,
3) затем — значение медианы по формуле:
где:
§ 
— искомая медиана
§ 
— нижняя граница интервала, который содержит медиану
§ i — ширина интервала (верхняя граница интервала – нижняя граница)
§ 
— сумма частот или число элементов в группе
§ 
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному
§ 
— частота медианного интервала
Пример. Найти моду и медиану для интервального ряда.
| Возрастные группы | Число студентов | Сумма накопленных частот ΣS |
| До 20 лет | 346 | 346 |
| 20 — 25 | 872 | 1218 |
| 25 — 30 | 1054 | 2272 |
| 30 — 35 | 781 | 3053 |
| 35 — 40 | 212 | 3265 |
| 40 — 45 | 121 | 3386 |
| 45 лет и более | 76 | 3462 |
| Итого | 3462 |
Решение:
1) Определим моду
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).
Рассчитаем величину моды:
Это значит, что модальный возраст студентов равен 27 годам.
2) Определим медиану.
Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σfi/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:
Это значит, что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.
2) Квартили
Квартилипредставляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равные по количеству элементов части.
Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) 
, квартиль третьего порядка (верхний квартиль) 
. Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями, второй квартиль является медианой. Второй квартиль 
делит совокупность на две равные части и является медианой.
Для расчёта квартилей можно поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану.
К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.
| 1 квартиль | 
| 2 квартиль |
медиана
В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифм. среднее 2-го и 3-го элеметов, а за нижнюю арифм. среднее 7-го и 8-го элементов.
| медиана |
1 квартиль 3 квартиль
Расчет квартилей для дискретного ряда:
Расчет квартилей для дискретного ряда:
1. В дискретном ряду сначала определяют номера (позиции) квартилей:
позиция 1-го квартиля 
позиция 3-го квартиля 
2. Если номер квартиля– целое число, то значение квартиля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру квартиля. Например, номер квартиля равен 20, его значение будет равно значению признака с S =20 (накопленной частотой равной 20).
Если номер квартиля – нецелое число, то квартилем будет условное число между двумя наблюдениями. Значением квартиля будет сумма, состоящая из значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера квартиля, и указанной части (нецелая часть номера квартиля) разности между значением этого элемента и значением следующего элемента.
Например, если номер квартиля равна 20,25, квартиль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 (0,25) разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.
Расчет квартилей для интервального ряда:
Для расчета квартилей для интервального ряда
1) Определяем номер квартиля,
2) Определяем квартильный интервал,
3) Рассчитываем квартиль по формуле:
Где:
- нижняя граница интервала, содержащего первый квартиль. Интервал определяется по накопленной частоте интервалов
- нижняя граница интервала, содержащего третий квартиль. Интервал определяется по накопленной частоте интервалов
- ширина интервала
- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему первый квартиль
- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему третий квартиль
- частота интервала, содержащего первый квартиль
- частота интервала, содержащего третий квартиль