Функция нескольких переменных

Контрольная работа

Вариант 1

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) б)

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y²-e^-x).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^x-2y, где , y = t³ при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x³+y³+z³-3xyz = 4, в данной точке M₀ (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z-4x+8 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: 4x²-9y²-9z²-36 = 0, M₀(3,0,0).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x+y) в т. M₀(1,3) в направлении линии y² = 9x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области

D: y = x,y = 4, x = 0.

Вариант 2

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin(x-y), б) z = ln(2-x-y) + .

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x²+y²)
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^x+e^-y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²-xy = 2, в данной точке M₀ (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-4y² = -2xy, M₀(-2,1,2);

б) S: x²+y²-z = 6, M₀(1,-1,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x²-3x-y-1 в т. M₀(2,1) в направлении, идущем от т. М₀ к т. N(5,5).
2. Исследовать на экстремум функцию z = x³+8y³-6xy+5.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-x-2y в области

D: y = x,y = 0 , x = 3.

Вариант 3

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = ln(1-x²-y²)+ .

1. Вычислить приближенно (1,03)^3,98 .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = y^x, где x = ln(t-1), при t = 2, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: , в данной точке M₀ (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x²+(y+1)²) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+3z-xy = 7, M₀(1,2,1);

б) S: 4x²-9y² = 36, M₀(-3,0,0).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,-8) в направлении линии y = x² в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x²-xy-2y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+8y+2xy-4x в области

D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.

Вариант 4

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(4-x²-y²); б) z = y + arcsin(x+2).

1. Вычислить приближенно cos59°sin32°.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x-y²).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x+2, где , y = cost при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: e^z+x+2y+z = 4, в данной точке M₀ (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = x^y указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z+4x = 8, M₀(-1,1,2);

б) S: x²-y+z²-6 = 0, M₀(1,-1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( ) в т. M₀(5,5) в направлении линии y² = 5x в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x²-xy-y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 5x²+y²-3xy в области

D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.

Вариант 5

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = + ln(4-x²-y²).

1. Вычислить приближенно arсtg .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos(x³-2xy)
3. Вычислить значение производной сложной функции u = x²e^y, где x = cost, y = sint, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²-z-4 = 0, в данной точке M₀ (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy/(x+y) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:2x²-y²+z²-4x+y = 13, M₀(2,1,-1);

б) S: 25y²-4x²-4z²-5 = 0, M₀(1,1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функциюz = x³+y²-6xy-39x+18y+20.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2xy-y²-4x в области

D: x-y+1 = 0,y = 0, x = 3.

Вариант 6

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ; б) z = (4-x²-y²)+ – .

1. Вычислить приближенно (2,05)²/((2,05)²+(3,01)²).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^x+e^y) где x = t², y = t³ при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: z³+3xyz+3y = z, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^xy указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²-6y+4z+4 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: x²+z²-5y² = 0, M₀(-1,1,3).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y²+xy в т. M₀(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2x³+2y³-6xy+5.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+y²-2x-2y+8 в области

D: y+x-1 = 0,y = 0, x = 0.

Вариант 7

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = arccos(x + y); б) z = .

1. Вычислить приближенно 0,97 ^1,05.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x³y).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = x^y, где x = e^t ,y = lnt при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: cos² x + cos²y + cos²z = 1,5 в данной точке M₀ ( ) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = sin²(x-ay) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-5yz+3y = 46, M₀(1,2,-3);

б) S: 3x²+y² = 9, M₀( ,2 2,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(2,2) в направлении линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 3x³+3y³-9xy+10.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x³-xy²+y² в области

D: y = 0,y = 6, x = 0,x = 1.

Вариант 8

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin(3-x²-y²) .

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(3x²y-y²).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x, где x = sint, y = t³ при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y),заданной неявно: e ^z-1 = cosxcosy + 1, в данной точке M₀ (0,π/2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-xz-yz = 0, M₀(0,2,2);

б) S: x²+y²-4z² = 4, M₀(-2,2,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( ) в т. M₀(5,5) в направлении линии y² = 5x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x²+xy+y²+x-y+1.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+6y-xy-x²-y² в области D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.

Вариант 9

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(x²+y²-3); б) .

1. Вычислить приближенно ln((2,02)²+ ).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = e^-(x3+y3)y.
3. Вычислить значение производной сложной функции u = x²e^-y, где x = sint, y = sin²t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²-6x = 0, в данной точке M₀ (1,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-z²+2yz+y-2z = 2, M₀(1,1,1);

б) S: x²-y² = 16, M₀(5,3,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x²+y²) в т. M₀(1,1) в направлении линии x²+ y² = 2 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 4(x-y)-x²-y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-2y²+4xy-6x-1 в области D: x+y = 3,y = 0, x = 0.

Вариант 10

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin + arcsin(1-y).

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln( -1).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^-x+e^y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xy = z²-1, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^{- cos(x+ay)} указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y^{2 _} z²-2xy+2x = z, M₀(1,1,1);

б) S: 3x²-11y²+3z²+5 = 0, M₀(1,1,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,8) в направлении линии x²+y² = 100 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 6(x-y)-3x²-3y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2xy-10 в области

D: y = 0,y = x²-4.

Вариант 11

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(y²-x²); б) z = .

1. Вычислить приближенно (3,02)³ .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y⁴x³).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x-1, где x = cost, y = sint при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-2y²+3z²-yz+y = 2, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^xy указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:z = x²+y²+2x-2xy-y, M₀(-1,-1,-1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(1,1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀( ) в направлении линии x²+y² = 2x в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x²+xy+y²-6x-9y.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-2x-y в области

D: y = 0,y = 4, x = 0,x = 3.

Вариант 12

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(9-x²-y²); б) z = arcsin(x+y).

1. Вычислить приближенно ln( – ).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2xy + .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²+2xz = 5, в данной точке M₀ (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctg указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y²-x²+2xy-3y, M₀(1,-1,1);

б) S: x²+y²-4z² = 1, M₀(1,2,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M₀(1,-1) в направлении линии y = -x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-2)²+2y²-10.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 0,5x²-xy в области

D: y = 8, y = 2x².

Вариант 13

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = ln(4+4x-y²).

1. Вычислить приближенно ( sin1,56)(cos1,58).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2- ln .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arccos(2x / y), где x = sint, y = cost при t =π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xcosy + ycosz + zcosx = , в данной точке M₀ (0, , π) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x²+y²+2x+1) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀, y₀, z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x²-y²-2xy-x-2y, M₀(-1,1,1);

б) S: x²-5y+z² = 0, M₀(1,2,-3).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg в т. M₀(1,1) в направлении линии x²+ y² = 2x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-5)²+y²+1
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x²+3y²-2x-2y+2 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.

Вариант 14

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = arcsin3xy.

1. Вычислить приближенно 3,1+4,2- .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x- ).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = 1-2t,

y = arctg t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

1. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: 3x² y²+2xyz²-2x³z+4y³z = 4, в данной точке M₀ (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
2. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-2y²+z²+xz-4y = 13, M₀(3,1,2);

б) S: x²-7y+z² = 4, M₀(3,2,3).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x³+y³-3xy.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x² + 3y²-1 в области

D: y = , y = 0.

Вариант 15

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arccos(x+2y); б) .

1. Вычислить приближенно 3,03⁴+1,98⁵+15.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = e^t, y = 2-e^2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-2y²+z²-4x+2z+2 = 0, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^–(x+3y) sin(x+3y) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 4y²-z²+3z+4xy-xz = 9, M₀(1,-2,1);

б) S: x²-4y²+z²-4 = 0, M₀(-2,1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x²-3x-y-1 в т. M₀(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2)к т.M₀.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x²-4y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-2xy-y² + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.

Вариант 16

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin ; б) z = ln(y²-x²),

1. Вычислить приближенно 2,01∙ 1,03/ ((2,01)⁴+(2,97)²),
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos(x-2y²),
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^-x +e^-2y) где x = t², при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой,
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M₀ (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой,
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x²+y²-3xy-x+y+2, M₀(2,1,0);

б) S: x²+y²-z-6 = 0, M₀(2,1,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀( ) в направлении линии x²+ y²+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x –x²-y+6x+3.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x²+3y²-x-y+1 в области

D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.

Вариант 17

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(x²-y²); б) z = arcsin .

1. Вычислить приближенно (2- )^3,02.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 5xy²+lnxy².
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x² + y² + z²-2xz = 2, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = arctg указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x²-y²+2z²+xz+xy = 3, M₀(1,2,1,);

б) S: x²+y²-4z² = 4, M₀(2,-1,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M₀(-1,4) в направлении линии y = -x+3 в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-5x²-3y²+2.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x² +2xy-0,5y²-4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.

Вариант 18

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(x²-y²); б) z =

1. Вычислить приближенно tg46° sin29°.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: e^z-xyz-x+1 = 0, в данной точке M₀ (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x+e ^–y) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²+z²-4x+2y = 14, M₀(3,1,-4);

б) S: x²+y² = 5z, M₀(1,3,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(-6,8) в направлении линии y = (2/9)x² в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(12-x-y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2,5y²-2xy-2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0,x = 2.

Вариант 19

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = -8; б) .

1. Вычислить приближенно (2,03)²/ .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = y²-4xy+sin(2xy²).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где , при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x³+2y³+z³—3xyz-2y-15 = 0, в данной точке M₀ (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x²-y²) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-z²+xz+4y = 4, M₀(1,1,2);

б) S: x²+5y²+z² = 10, M₀(1,-1,2).

1. Найти направление наибольшего возрастания функции u = x²y²z в любой точке и в т. М₀(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.
2. Исследовать на экстремум функцию z = xy-x²-y²+9.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-3x-2y в области

D: y = 0, y = 4, x = 0,x = 4.

Вариант 20

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) .

1. Вычислить приближенно 2,03/((2,03)⁴+(2,97)²).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y-x²-3).
3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin t,y = cost при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-3y²+z²-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в данной точке M₀ (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция e^{– cos(x+3y)} указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-z²+xz-4x = -5, M₀(-2,1,0);

б) S: x²-y²+z² = 30, M₀(3,2,5).

1. В направлении какой линии : y² = 4x или x²+y² = 5 в т.М₀(1,2) функция z = x³+y³ изменяется быстрее в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-3x²-2y²+10.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² + xy-2 в области

D: y = 4x²-4, y = 0.

Вариант 21

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(3x-y); б) z = .

1. Вычислить приближенно 3,09e ^0,09.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x-y³)+x.
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z² = y-z+3, в данной точке M₀ (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^x(xcosy-ysiny) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-xz+yz-3x = 11, M₀(1,4,-1);

б) S: x²+y²-4x+2y+4 = 0, M₀(2,-2,0).

1. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т. M₀(-1,1,-1) ,чтобы функция возрастала с наибольшей скоростью?
2. Исследовать на экстремум функцию z = x³ + 8y³-6xy +1.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² y (4-x-y) в области

D: y = 6-x, y = 0, x = 0.

Вариант 22

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = y- ; б) z = .

1. Вычислить приближенно 4/((1,03)²+(2,97)²).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sint, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²+2xy-4x-yz-3y-z = 0, в данной точке M₀ (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .

1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+2y²+z²-4xz = 8, M₀(0,2,0);

б) S: 2x²-y+2z² = 0, M₀(1,10,2).

1. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М₀(2,2) функция z = x³+y³-3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
2. Исследовать на экстремум функцию z = y -y²-x+6y
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x³-y³-3xy в области

D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.

Вариант 23

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = –x; б) z = arcsin(1-x²-y²) + arcsin2xy.

1. Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy)-3xy².
3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin2t, y = tg² t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-y²-z²+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = 3+ln(x²+(y+1)²) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-2z²-2y = 0, M₀(-1,-1,1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(-1,1,2).

1. В направлении какой линии y² = 4x или x²+y² = 5 в т. М₀(1,2) функция z = x³+y³ изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
2. Исследовать на экстремум функцию z = x²-xy+y²+9x-6y+20.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 4(x-y)-x²-y² в области

D: 2y + x = 4, x-2y = 4.

Вариант 24

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(25-x²-y²); б) z = arctg( ).

1. Вычислить приближенно (0,99)^5,05.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: +z³-3z = 3, в данной точке M₀ (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-3z²+xy = -2z, M₀(1,0,1);

б) S: y²-4y+z = 0, M₀(1,-2,-12).

1. В направлении какой линии: x² + y² = 8 или y = -x в т. M₀(-2, 2) функция z = изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(6-x-y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-y²+2xy-4x в области

D: y = x+1, y = 0, x = 3.

Вариант 25

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = .

1. Вычислить приближенно ( e ^1,15)^1,1.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arctg(x+y), где x = t²+2, y = 4-t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+2y²+3z² = 59, в данной точке M₀ (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^{– cos(4y+x)} указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x²-y²+z²-6x+2y+6 = 0, M₀(1,-1,1);

б) S: z = y²-y-2, M₀(0, , ).