Перечислите основные положения, используемые при вычислении спектра гармонического осциллятора методом Шрёдингера
Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.
Оператор рождения:
Оператор уничтожения:
Вопросы для самоконтроля
3.Оцените с помощью соотношения неопределенностей энергию связи электрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее расстояние от ядра. Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии . Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной частицы, движущейся в кулоновском поле Е = p 2 / 2m - e 2 / r, где m и е – соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Согласно соотношению Δp x Δx > h, эти величины связаны друг с другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r из формулы. Получим E(p) = p 2 / 2m - e 2 p / h.
Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р 1 ; обозначим его через Е 1 . Величину Е 1 можно рассматривать как оценку энергии основного состояния атома водорода, а величину r 1 = h / p 1 – как оценку линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты) . Приравнивая к нулю производную, находим р 1 = me 2 / h. Отсюда немедленно получаем искомые оценки: r 1 = h 2 / me 2 , E 1 = -me 4 / 2h 2 .
4.Как на основе соотношения неопределенностей объяснить:устойчивость атома,наличие нулевых колебаний?
Соотношение неопределенностей имеет вид неравенства Δx·Δp≥h и также позволяет объяснить устойчивость атома. Будем считать, что движение электрона в атоме водорода H происходит в области пространства радиуса r. Тогда неопределенность в его положении можно принять равной r. Если попытаться локализовать электрон на ядре (Δx → 0), то неопределенность импульса будет неограниченно возрастать (Δp → ∞). Таким образом, “падение” электрона на ядро, допустимое с точки зрения классической механики, в действительности оказывается невозможным.
Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».