Кинетостатический расчет механизмов

При силовом анализе механизма предполагается заданным закон движения ведущего звена, известны массы и моменты инерции зве­ньев, а также силы полезных сопротивлений. Как указывалось в пара­графе 2.1, силовой расчет с учетом сил инерции называется кинетостатическим. В первом приближении расчет производим без учета сил трения.

В плоских механизмах, главным образом, используются враща­тельные и поступательные пары 5 класса.

На рис. 2.6 приведена схема вращательной кинематической пары и сила реакции Р, линия действия которой проходит через центр шар­нира, но направление и величина ее неизвестны.

Рис. 2.6. Вращательная кинематическая пара

В поступательной кинематической паре 5 класса, изображенной на рис. 2.7, известно направление результирующей силы реакции F:

 

 

она перпендикулярна направлению движения ползуна. Однако точка приложения реакции и ее модуль неизвестны.

Для каждого звена, совершающего плоскопараллельное движение, можно написать три уравнения равновесия. Следовательно, для п зве­ньев число уравнений равновесия равно Зn. Число неизвестных, кото­рое необходимо определить, будет для пар 5 класса равно 2р5.

Рис. 2.7. Поступательная кинематическая пара V класса

Следовательно, кинематическая цепь статически определима при условии:

(2.8)

Записанному условию, как указывалось выше, удовлетворяют кинематические цепи с нулевой степенью свободы. Поэтому целесообраз­но определять реакции в кинематических парах по группам Ассура, начиная с последней - рабочего органа.

Рассмотрим процесс кинетостатического анализа плоского механизма, изображенного на рис. 1.1 для положения 2, изображенно­го на рис. 1.4.

Исходные данные для расчета:

m₁ - 5 кг; т₂_ - 40 кг; т₃ = 30 кг; т₄ = 50 кг; т5 = 10 кг; J₀₁ = 1 кг * м²; J₅₂ = 2 кг ■ м²; J₀₃ = 1 кг • м²; Js4₄ - 3 кг • м²; F_с = 2000 Н.

Разделим механизм на группы Ассура. Первая группа 5-4 представляет собой группу Ассура второго класса второго вида. Вы­бираем масштаб и схематично изображаем эту группу, в соответ­ствующих точках прикладывая к звеньям силы (рис. 2.8).

Сила полезного сопротивления направлена навстречу скорости ползуна 5. Главные векторы сил инерции звеньев 4 и 5 направляем со­гласно плану ускорений(см.рис. 1.6) в сторону, противоположную соответ­ствующим ускорениям. Перпендикулярно направляющим изображаем реакцию стойки на ползун R₀₅ Полную реакцию в точке С раскладываем на две составляющие : нормальную Rⁿ₃₄ и касательную R^τ₃₄

Индексы в обозначении реакций проставляем следующим обра­зом: первый индекс в реакции указывает, со стороны какого звена она действует, а второй - на какое звено.

 

Рис. 2.8. План группы 5-4 (&/=0.005 м/мм)

Модули сил и моментов сил инерции находятся соответственно из формул

Касательную составляющую реакции звена 3 на четвертое R^τ₃₄на­ходим из условия равновесия шатуна 4, записанного в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки D:

Отсюда получим:

Так как сила R^τ₃₄получилась с отрицательным знаком, то ее надо
на чертеже направить в противоположную сторону, зачеркнув
предыдущую.

Неизвестные силы Rⁿ₃₄ и R^τ₃₄ находим из многоугольника сил, который составляется согласно векторному уравнению :

(2.9)

 

 

Для построения плана сила выбираем масштабный коэффициент таким образом, чтобы длина максимального вектора была не более 150 ... 200 мм. В нашем примере максимальную величину имеет сила полезного сопротивления, поэтому масштабный коэффициент равен

Определяем длины соответствующих векторов:

Длину вектора l₂ принимаем равной нулю, так как практически невозможно начертить вектор длиной 1,3 мм.

Построение плана сил (рис. 2.9) производим в том же порядке, в каком они расположены в векторной формуле (2.9). Из конца последнего

Рис. 2.9. План сил группы 5-4 (кр= 10 Н/мм)

вектора R^τ₃₄ проводим перпендикуляр. Из полюса P_F плана сил проводим линию, параллельную направлению реакции стойки на ползун. Точка пе­ресечения этих линий является концом вектора Rⁿ₃₄ и началом вектора R₀₅-Соединив начало вектора R^τ₃₄с концом Rⁿ₃₄, получим полную реакцию звена 3 на 4. Модуль этого вектора равен

 

 

Вторая группа Ассура - звенья 3-2 представляют собой группу второго класса первого вида (рис. 2.10). Прикладываем в соответ­ствующих центрах масс силы инерции и силы тяжести, а в центрах вращения кинематических пар составляющие реакций. Силу реакции со стороны звена 4 прикладываем в точке С, направляя противоположно R_34и обозначая R₄₃

Рис. 2.10. План группы 3-2 (&/= 0.005 м/мм) Модули сил, изображенных на рис. 2.10, находим по формулам

Касательную составляющую реакции в шарнире О) находим из условия равновесия третьего звена, записанного в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

где h_ί,- - плечи соответствующих сил относительно точки В, м. Из уравнения моментов получим:

 

Касательную составляющую реакции в шарнире А находим из условия равновесия второго звена, записанного в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

Отсюда

Неизвестные силы Rⁿ₁₂и Rⁿ₀₃ находим из многоугольника сил, представляющего собой векторное уравнение равновесия группы 3-2:

План сил для группы 3-2 изображен на рис 2.11.

Рис. 2.11. План сил группы 3-2 (кр=10 Н/мм)

 

Так как величина максимальной силы в этом уравнении несуще­ственно отличается от величины максимальной силы Fс, то масштабный коэффициент оставляем прежним: kр = 10 Н/мм.

Построение плана сил производим в том же порядке, в каком си­лы расположены в векторном уравнении. Из конца вектора R^τ₀₃ прово¹ дим перпендикуляр и из начала вектора R^τ₁₂также проводим перпен­дикуляр. Полные реакции R₁₂и R₀₃находим, соединив, соответ­ственно, начало и концы векторов нормальной и касательной состав­ляющих:

где l₁, l₂ - длины векторов R₀₃ и R₁₂ на плане сил, мм. Ведущее звено 1 механизма и силы, действующие на него, приведены на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Ведущее звено (1, = 0,05 м/мм)

Силу R₂₁ направляем навстречу силе R₁₂ и прикладываем к точке А. Движущий момент, действующий на кривошип и обеспечивающий его вращение с заданной угловой скоростью ω ,находим из уравнения момен­тов относительно оси кривошипа (при этом силу тяжести кривошипа счи­таем приложенной на оси вращения, т.к. кривошип - звено уравновешен­ное) :

Где h₁ - плечо силы R₂₁, м. Таким образом,

 

2.3. Расчет усилий в кинематических парах с помощью общих теорем динамики

При заданном движении ведущего звена механизма с одной степенью свободы, как указывалось выше, кинематика каждого из его зве­ньев однозначно определена. В этом случае метод динамического расчета, излагавшийся в курсе теоретической механики, может быть использован для определения усилий в кинематических парах и движущего момента, обеспечивающего заданное движение. Напомним, что метод динамическо­го расчета предполагает последовательное применение к каждому звену механической системы двух теорем динамики: теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента. Для звена механиз­ма, совершающего плоскопараллельное движение, первая из указанных теорем эквивалентна двум уравнениям проекций

Применение же второй теоремы сводится к составлению дифферен­циального уравнения вращательного движения:

где ско/ск = е - угловое ускорение звена. Таким образом, движение каждого из звеньев плоского механизма можно описать при помощи трех скалярных уравнений. Если же «п» - число звеньев механизма, то соответ­ственно, возможно составить «Зп» таких уравнений. К числу неизвестных сил, входящих в эти уравнения, относятся реакции в кинематических парах (по две в каждой кинематической паре пятого класса) и движущий момент. Следовательно, задача нахождения неизвестных сил будет статически определимой, если

Как легко видеть, записанное соотношение является прямым след­ствием формулы Сомова-Малышева для плоского механизма с одной сте­пенью свободы, содержащего только кинематические пары пятого класса. Это означает, что любая задача динамического анализа указанного вида механизмов статически определима.

 

В отличие от графического метода, в котором реакции кинематиче­ских пар раскладываются на строго определенные составляющие, при дан­ном подходе каждую из реакций можно представить в виде двух произвольно направленных составляющих (удобнее всего направлять их параллельно выбранным осям координат). Кроме того, нет необходимости разбивать механизм на структурные группы, рассматривая равновесие каждой из них, а затем (для определения реакции в сочленении) и отдельно одного из звеньев этой группы.

Определим реакции в кинематических парах кулисного механизма, изображенного на рис. 2.13,а, считая заданными ω₁ = соnst, ω₂ и ε Звено 1 уравновешено, центр тяжести звена 2 расположен в точке С. Массы зве­ньев, соответственно, равны m1,m2,m3, моменты инерции звеньев относи­тельно своих центров тяжести Jo, J_A, Jc. Геометрические размеры: ОА = г, O₁O=h=r√3 O₁C = г. В расчетном положении ОА±О₁O

 

 

Рис. 2.13. Силовой анализ кулисного механизма

 

 

Изобразим каждое звено механизма в отдельности (рис. 2.13, б, в, г). Будем считать ось х горизонтальной, а у - вертикальной. Уравнения дви­жения первого (уравновешенного) звена имеют вид:

Ускорение точки С имеет две составляющие

 

Поэтому по теореме о движении центра масс получим ;

а из теоремы об изменении кинетического момента следует;

Наконец, для звена 3, ускорение которого ад = он² г, имеем ;

Получена система девяти уравнений с девятью неизвестными, решая которую,найдем силы, действующие_в кинематических парах. Легко ви­деть, что R_A=√X_A²+ Y_A², т.к. Ха±Уа. Аналогично найдем силы во всех остальных кинематических парах.

2.4. Приведение сил и масс. Рычаг Жуковского

Для исследования движения механизма целесообразно все силы и моменты сил, действующие на звенья, заменять силами, приложенны­ми к одному звену. При этом должно выполняться условие: работы этих заменяющих сил на рассматриваемом возможном перемещении

 

должны быть равны работам фактических сил, приложенных к звеньям механизма. Эти заменяющие силы и моменты называют приведенными силами, моментами. Звено, к которому прикладываются приведенные силы и моменты, называется звеном приведения, а точка приложения сил - точкой приведения.

Обычно за звено приведения выбирают ведущее звено - криво­шип, обобщенной координатой которого является угол поворота φ .Для определения приведенных сил и моментов согласно указан­ному условию могут быть использованы равенства:

(2.10)

где F_П, М_п - соответственно, приведенная сила и момент; Fj , Mj- силы и моменты, действующие на соответствующие звенья; δх_п , δφ_п - возможное линейное и угловое перемещения звена приведения; 8х;, 5щ - возможные линейные и угловые перемещения со­ответствующих звеньев механизма; άί - угол между соответствующей силой и перемещением.

При известных линейных скоростях точек, в которых приложены силы, и угловых скоростях звеньев, к которым приложены пары сил, приведенные силы и моменты находятся из уравнений, определяющих сумму мощностей всех сил. В этом случае:

(2-П)

Примеры:

1. Определим приведенную к кривошипу (точке А) силу Рс на ползуне для механизма, приведенного на рис. 1.1:

Знак (-) в результате вычислений свидетельствует о том, что си­ла F_с относится к силам сопротивления.

2. Определим приведенную к точке А силу инерции второго звена F₂^ИН для механизма, приведенного на рис. 1.1:

 

Сила инерции F₂^ИН также относится к силам сопротивления.

3. Определим приведенный к оси кривошипа момент сил инерции М₂^ИН второго звена:

Так как направление главного момента сил инерции М₂^ИН совпадает с направлением угловой скорости ω₂то его мощность имеет знак (+). Следовательно, момент сил инерции второго звена в этом положении механизма относится к движущим моментам.

Следует отметить, что уравнения (2.10), (2.11) не содержат КПД. Это приводит к тому, что приведенная сила и момент определяются приближенно. Если необходимо учитывать КПД, то для сил и момен­тов сопротивлений КПД ставится в формулы (2.10) и (2.11) в знаме­натель, а для движущих сил и моментов - в числитель. Причем КПД определятся от звена, где приложена сила или момент, до звена при­ведения.

Формуле (2.10), определяющей величину приведенной силы, можно дать простое геометрическое толкование, часто использующееся при гра­фическом анализе движения механизмов. Заметим, что в выражении мощ­ности силы N(Fί)=Fί*Vί*cjsά_ί произведение Vί*cjsά_ί с точностью до масштабного коэффициента равно плечу силы F₁, приложенной в соответ­ствующей точке плана скоростей, повернутого на 90° относительно по­люса плана скоростей. Таким образом, мощность любой силы можно вы­числить, если умножить момент силы Fί, относительно полюса ру на мас­штабный коэффициент kv. Следовательно, и мощность приведенной силы можно определить как сумму моментов заданной системы сил, приложенной в соответствующих точках повернутого на 90° плана скоро­стей относительно полюса плана скоростей. Величину масштабного ко­эффициента при этом можно и не учитывать, т.к. он входит в обе части уравнения, определяющего приведенную силу, и на него уравнение можно сократить. Изложенный метод называют методом «жесткого рычага Н.Е.Жуковского». Определение приведенной силы «методом жесткого рычага» сводится к следующему:

1) в увеличенном масштабе строится повернутый на 90° план
скоростей механизма;

2) в соответствующих точках плана скоростей изображаются
заданные силы;

 

3) момент каждой пары сил представляется как две антипараллель­
ные силы, приложенные в двух произвольных точках звена (обычно, край­
них точках), направленных перпендикулярно отрезку, соединяющему эти
точки;

4) определяется сумма моментов заданных сил относительно полюса;

5) сумма моментов делится на плечо приведенной силы,
приложенной к точке приведения.

Пример:

Определим приведенную силу для всех сил (включая и силы инер­ции), действующих на механизм, схема которого приведена на рис. 1.4, во втором его положении. Для этого приложим в соответствующих точ­ках плана скоростей силы, раскладывая главные моменты сил инерции на две антипараллельные силы:

Жесткий рычаг Жуковского приведен на рис. 2.14. Масштабный коэффициент равен kv = 0,01 (м/с)/мм.

Уравнение для определения приведенной силы имеет вид:

У плоского механизма с одной степенью свободы целесообразно за звено приведения выбирать начальное звено - кривошип.

 

 

Рис. 2.14. «Жесткий рычаг» Н.Е.Жуковского

Аналогично понятиям приведенных сил и моментов определяются приведенные масса и момент инерции. Известно, что при плоскопарал­лельном движении звеньев кинетическую энергию механизма можно определить в виде:

(2.12)

где m_i- масса i-го звена; V_si- скорость его центра масс; J_si- момент инерции звена относительно его центра масс; ω_i- его угловая скорость.

Приведенной массой называют массу фиктивного звена (при его поступательном движении), кинетическая энергия которого равна в дан­ный момент времени кинетической энергии всех звеньев механизма.

 

 

В соответствии с этим определением приведенную массу т_пр можно найти из условия:

где V- скорость поступательного движения звена приведения. Таким образом, приведенная масса равна

(2.13)

Если же звено приведения совершает вращательное движение, то аналогично определяется приведенный момент инерции, выражение для ко­торого можно записать в виде:

V (2.14)

где со - угловая скорость звена приведения. Пример.

Определить приведенный к оси вращения кривошипа момент инерции механизма, изображенного на рис. 1.4 для второго положения.

Формула для определения приведенного момента инерции этого механизма имеет вид (центр масс кривошипа лежит на оси его вращения):

2.5. Исследование движения машинного агрегата. Неравномерность движения механизма

Как это было показано ранее, исследовать движение машинного агрегата целесообразно после приведения сил, моментов сил и масс к одному звену. Уравнение движения машинного агрегата может быть записано в форме теоремы об изменении кинетической энергии:

 

(2.15)

где А_ДВ , А_с - соответственно, работа движущих сил и сил сопротивления, приведенных к одному звену.

Как показывают уравнения (2.13) и (2.14), приведенные массы и моменты инерции являются переменными и зависящими от угла пово­рота ведущего звена. Движущий момент и момент сопротивления также меняются и зависят от положения ведущего звена. Следовательно, угловая скорость ведущего звена является переменной величиной, что отрица­тельно сказывается на качестве технологического процесса, его КПД и работоспособности звеньев механизма.

Колебания угловой скорости могут быть периодическими и непе­риодическими. Периодические колебания скорости возникают из-за цик­личности работы механизма (через каждый оборот ведущего звена меха­низм возвращается в одно и то же положение). Таким образом, периодически меняются нагрузки, действующие на звенья механизма. Не­периодические колебания угловой скорости вызываются внезапными не­периодическими изменениями сопротивления на рабочем органе. При этом колебания скорости могут достигнуть такого уровня, что работа агрегата станет невозможной.

Для оценки изменчивости скорости движения агрегата введено понятие коэффициента неравномерности вращения, равного отношению разности максимальной и минимальной угловых скоростей к их среднему значению:

(2.16)

Средняя угловая скорость движения ведущего звена находится из формулы:

(2.17)

Из уравнений (2.16) и (2.17) можно определить максимальную и минимальную величину угловой скорости в виде:

(2.18)

 

Для уменьшения неравномерности вращения ведущего звена используют маховик, который по существу является аккумулятором кинетической энергии. На этапе торможения механизма (когда вели­чина движущего момента меньше величины момента сопротивления) он отдает часть кинетической энергии. Затем, когда движущий момент больше момента сопротивления, маховик накапливает кинетическую энергию, разгоняясь вместе с двигателем до номинальной скорости.

Для определения момента инерции маховика необходимо знать: приведенный движущий момент и момент сил сопротивления, а также приведенный момент инерции за один полный цикл времени устано­вившегося движения.

За один полный цикл изменение кинетической энергии механиз­ма можно определить по диаграмме изменения движущих сил и сил сопротивления. Кинетическая энергия механизма в i- том положении определяется по формуле:

(2.19)

где Т₀ - кинетическая энергия механизма в начале цикла, Дж; ΔТ_i - приращение кинетической энергии механизма, Дж.

Если графически оценивать изменение кинетической энергии в различных положениях механизма, то с учетом масштабов, в которых ве­дется построение, тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат в точку кривой Т(J_Пр), можно выразить из (2.14) в виде:

где k_j,k_T - соответственно, масштабные коэффициенты приве­денного момента инерции и кинетической энергии.

Учитывая, что максимальная и минимальная величины кинети­ческой энергии механизма выражаются, соответственно, через максимальное и минимальное значение угловой скорости (2.18):

получим ;

 

(2.20)

Момент инерции маховика при заданном коэффициенте неравномерности движения определяется как величина, на которую следует увеличить абсциссу начала координат системы, в которой построен данный график, для которого Ψ_max и Ψ_minесть углы наклона касательных к кривой Т =f(Jпр)-

На рис. 2.15 приведена диаграмма Т =f(Jпр)- Согласно этому рисунку момент инерции маховика равен

J_M, =k_j*Оd.

Рис. 2.15. Диаграмма энергомасс

Так как при небольших δ углы Ψ_max и Ψ_minмогут мало отличаться друг от друга, точка пересечения касательных, проведенных под этими углами, может оказаться за пределами чертежа, поэтому момент инерции маховика согласно рис. 2.15 можно определить по длине отрезка аb, отсекаемого на оси ординат диаграммы энергомасс, из формулы

 

Величина То , на которую следует сместить по вертикали начало координат, как указывалось выше, определяет величину начальной кинетической энергии, то есть такое значение кинетической энергии, которое следует запасти в период разбега механизма до начала его периодического (установившегося) движения. Эту величину также возможно установить по диаграмме энергомасс, как

Учитывая, что аd=Оd*tgΨ_так, нетрудно получить формулу

Если точка а лежит ниже начала координат O₁, то в формуле для Т₀ следует поставить «+» перед аО₁.

 

 

4. СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

4.1. Заданиядля курсового проектирования

Для заданной кинематической схемы плоского механизма и принятых исходных данных необходимо:

1) определить число степеней свободы, провести структурный анализ;

2) изобразить в выбранном положении схему механизма в стандартном масштабе (1:1, 1:2, 1:2.5, 1:4, 1:10 и т.п.);

3) для этого положения построить план скоростей, из которого опреде­лить скорости центров масс каждого звена и их угловые скорости;

4) для этого же положения построить план ускорений, из которого опре­делить ускорения центров масс каждого звена и их угловые ускорения;

5) провести силовой анализ механизма, определив усилия в кинематиче­ских парах;

6) проверить величину движущего момента с помощью «жесткого рыча­га» Н.Е.Жуковского;

7) составить уравнения замкнутых векторных контуров и ввести соответ­ствующие коэффициенты в ПЭВМ, провести визуальную проверку результатов кинематического анализа механизма в выбранном положении;

8) по результатам расчетов за один цикл движения механизма построить диаграмму энергомасс и определить величину момента инерции маховика J_M и начальное значение кинетической энергий механизма То;

9) определить коэффициент неравномерности движения механизма при выбранных значениях Jм и То;

 

10) по результатам определения реакций в кинематических парах устано­вить те положения механизма, в которых каждая из реакций имеет максималь­ное значение;

11) спроектировать кулачковый механизм заданной конфигурации, обес­печивающий заданное движение толкателя (кулачок установлен на оси враще­ния кривошипа и вращается вместе с ним с той же угловой скоростью);

12) рассчитать механическую передачу, подобрав ее передаточные числа для заданных значений частоты вращения двигателя и кривошипа исследуемо­го механизма.

Схемы механизмов и варианты заданий определяет преподаватель в со­ответствии со списком группы.