Задачи для самостоятельного решения

 

5.1. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20 % телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10 % и третьего — 5 %. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 % телевизоров с первого завода, 20 % — со второго и 50 % — с третьего?

Ответ: .

 

5.2. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает α % брака, второй — β %. Для контроля отобрано деталей из первого цеха и из второго. Эти деталей смешаны в одну партию, и из нее наугад извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

Ответ: .

 

5.3. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении — с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.

Ответ: .

 

5.4. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают по 20 билетов из 30, Сидоров успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. Экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

Ответ: .

 

5.5. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча, и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Ответ: .

 

5.6. На рис. 5.1 изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта П₁, выбирая каждый раз на развилке дорог дальнейший путь наудачу, причем выбор каждой из дорог равновозможен. Какова вероятность того, что они попадут в пункт П₂?

Рис. 5.1

Ответ: .

 

5.7. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй — 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а) 1-м автоматом; б) 2-м автоматом.

Ответ: а) ; б) .

 

5.8. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

Ответ: .

 

5.9. Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин как 3:2. Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,1, легковая — 0,2. Найти вероятность того, что заправляющаяся у бензоколонки машина — грузовая.

Ответ: .

 

5.10. Три охотника одновременно и независимо стреляют в кабана. Известно, что первый попадает с вероятностью 0,8, второй — 0,4, а третий — 0,2. Кабан убит, и в нем обнаружены две пули. Как делить кабана?

Ответ: первый охотник должен получить ; второй — ; третий — кабана.

 

5.11. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 — удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные — 20, подготовленные удовлетворительно — 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности гипотез: Н₁ = «студент подготовлен отлично или хорошо», Н₂ = «студент подготовлен удовлетворительно», Н₃ = «студент подготовлен плохо».

Ответ: .

 

5.12. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы) Н₁, Н₂, Н₃ и Н₄. По данным статистики , , , . В ходе расследования обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А, согласно той же статистике, равны: , , , . Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

Ответ: наиболее вероятна гипотеза Н₁, Р(Н₁/А) = 0,552.

5.13. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,3; 0,5; 0,2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,6; для второй – 0,4; для третьей – 0,3. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что эта была первая касса.

Ответ: .

 

5.14. Количество акций, представленных 4 различными предприятиями на наличный рынок, относятся как 5 : 4 : 1 : 10. Вероятности того, что акции будут котироваться по 25 тыс. за штуку для этих предприятий соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8. Известно, что цена случайно выбранной акции составила 25 тыс. руб. Найти вероятность того, что эта акция представлена вторым предприятием.

Ответ: .

 

5.15. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен третьим стрелком.

Ответ: .

 

5.16. Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй – три белых и пять черных. Из первой и второй урн, не глядя, берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и берут из нее наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Ответ: .

 

5.17. На сборку попадают детали с 3 станков. Известно, что первый станок дает 0,3 % брака, второй – 0,2 % и третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 1000 деталей, со второго – 2000 деталей и с третьего – 2500 деталей.

Ответ: .

 

5.18. Студент выучил к экзамену 15 билетов из 20. Что для него предпочтительнее – идти сдавать экзамен первым или вторым?

Ответ: Оба события равновероятны .

 

5.19. В страховой компании 500 начинающих и 2000 опытных водителей. В среднем 10 % начинающих и 2 % опытных водителей в течение года попадают в аварию. Один из водителей попал в аварию. Какова вероятность того, что это был опытный водитель?

Ответ: .

 

5.20. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная.

Ответ: .

 

5.21. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

Ответ: .

 

5.22. В группе спортсменов 20 пловцов, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы для пловца равна 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Наудачу вызванный спортсмен выполнил норму. Найти вероятность того, что он – пловец.

Ответ: .

 

5.23. Курортная гостиница будет заполнена в июле с вероятностью 0.92, если будет солнечная погода, или с вероятностью 0.72, если будет дождливая погода. По оценкам синоптиков в данной местности в июле бывает 75% солнечных дней. Какова вероятность того, что гостиница будет заполнена? Ответ: .

 

5.24. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0,67. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит на рынок аналогичный товар в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Ответ: .