Закон распределения и основные характеристики случайных процессов

 

Напомним, что исчерпывающей характеристикой любой случайной величины X – дискретной, непрерывной или смешанной является ее функция распределения F = P{X < x}, т. е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного x.

Рассмотрим теперь случайный процесс X(t). Сечение случайного процесса x(t) при любом фиксированном значении аргумента t представляет собой случайную величину, которая имеет закон распределения

 

. (6.1)

 

Эта функция зависит от двух аргументов: во-первых, от значения t, для которого берется сечение; во-вторых, от значения x, меньше которого должна быть случайная величина X(t). Функция (6.1) называется одномерным законом распределения случайного процесса X(t).

Для случайных процессов с непрерывными состояниями, у которых каждое сечение представляет собой непрерывную случайную величину, можно пользоваться дифференциальным законом распределения.

Если F(t,x) имеет частную производную по x

 

, (6.2)

 

то она называется одномерной плотностью распределения или одномерным дифференциальным законом распределения случайного процесса X(t).

Очевидно, что одномерный закон распределения не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Функция (6.1) характеризует свойства любого, но отдельно взятого сечения. Она не дает представления о совместном распределении двух или более сечений.

Для иллюстрации этого факта рассмотрим два случайных процесса с примерно одинаковыми распределениями в каждом сечении (рис.6.2). Как видно на рисунке, эти процессы имеют совершенно разную вероятностную структуру. Первый случайный процесс (а) имеет более плавный характер, для него характерна достаточно тесная зависимость между сечениями. Для второго (б) эта зависимость затухает довольно быстро с увеличением расстояния между сечениями.

Более полной характеристикой случайного процесса будет двумерный закон распределения

 

. (6.3)

 

Функция (6.3) дает представление о совместном распределении двух произвольно взятых сечениях – для моментов времени t1 и t2. Но это функция уже не двух, а четырех аргументов и ее использование связано с определенными трудностями, как вследствие сложности экспериментального определения двумерных законов распределения, так и вследствие их громоздкости при решении прикладных задач.

 

 

Рис.6.2. Набор реализаций двух случайных процессов с одинаковыми одномерными законами распределения, но имеющие различную вероятностную структуру.

 

В общем случае исчерпывающей характеристикой случайного процесса является n-мерный закон распределения. Однако существует большой класс случайных процессов (марковские процессы) для которых исчерпывающей характеристикой будет двумерный закон.

На практике, как правило, вместо многомерных законов распределения используют основные характеристики случайных процессов, которые описывают случайный процесс не полностью, а частично.

Так же как для случайной величины мы определяли математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты, так и для случайного процесса мы будем определять основные характеристики, только для случайного процесса эти характеристики будут не числами, а функциями.

Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса

 

, (6.4)

 

где f1(x, t) – одномерная плотность распределения случайного процесса X(t).

Таким образом, математическое ожидание случайного процесса представляет собой некоторую "среднюю" функцию, вокруг которой происходит разброс случайного процесса (рис.6.3).

 

 

Рис.6.3. Среднемесячные уровни Ладожского озера за 1987 – 1988 годы (11 реализаций) и их математическое ожидание (жирная линия).

 

Если из случайного процесса X(t) вычесть его математическое ожидание, то мы получим центрированный случайный процесс:

. (6.5)

Реализации центрированного случайного процесса представляют собой отклонения случайного процесса X(t)от его математического ожидания. Эти отклонения имеют как положительные, так и отрицательные значения, а в среднем равны нулю:

. (6.6)

 

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция Dx(t), которая при любом значении аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса X(t).

. (6.7)

 

Среднеквадратическим отклонением случайного процесса X(t) называется неслучайная функция sx(t), равная корню квадратному из дисперсии случайного процесса:

, (6.8)

 

размерность функции sx(t) равна размерности случайного процесса X(t).

Математическое ожидание и дисперсия являются важными, но не исчерпывающими характеристиками случайного процесса, так как определяются только одномерным законом распределения и не позволяют учесть характер взаимосвязи между отдельными сечениями. Для учета этой взаимосвязи используется корреляционная функция случайного процесса.

Корреляционной (или ковариационной) функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция Kx(t,t'),которая при каждой паре значений аргументов t и t' равна ковариации соответствующих сечений X(tX(t'):

 

, или (6.9)

 

. (6.9а)

 

Отметим два важных свойства корреляционной функции:

1. При равенстве аргументов (t = t') корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Действительно,

 

. (6.10)

 

2. Корреляционная функция Kx(t,t') симметрична относительно своих аргументов:

 

. (6.11)

 

Наряду с корреляционной функцией используется нормированная корреляционная функция.

Нормированной корреляционной функцией rx(t,t') случайного процесса X(t) называется функция, полученная делением корреляционной функции на произведение среднеквадратических отклонений sx(t), sx(t'):

. (6.12)

 

Свойства нормированной корреляционной функции:

1. При равенстве аргументов t и t' нормированная корреляционная функция равна единице:

 

. (6.13)

 

2. Нормированная корреляционная функция rx(t,t') симметрична относительно своих аргументов:

 

. (6.14)

 

3. Нормированная корреляционная функция по модулю не превышает единицу:

 

. (6.15)

 

До сих пор мы говорили о скалярных случайных процессах, но существуют и векторные случайные процессы в которые в качестве составляющих могут входить два и боле случайных процесса.

Так например, как векторный случайный процесс можно рассматривать изменение расходов во времени одновременно в нескольких створах.

Для описания векторных случайных процессов необходимо знать математическое ожидание и корреляционную функцию для каждого скалярного процесса, входящего в векторный случайный процесс в качестве составляющей. Кроме того, необходимо иметь характеристику, отражающую взаимосвязь между отдельными составляющими векторного случайного процесса. В качестве такой характеристики используется взаимная корреляционная функция.

Взаимной корреляционной функцией Ri,j(t,t') двух случайных процессов Xi(t Xj(t') называется неслучайная функция двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений t и t' равна ковариации двух сечений случайных процессов Xi(t) и Xj(t'):

 

. (6.16)

 

Перечислим основные свойства взаимной корреляционной функци:

1. Взаимная корреляционная функция Ri,j(t,t') в общем случае не является симметричной относительно своих аргументов:

 

. (6.17)

 

2. При одновременной перемене мест индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не меняется:

 

. (6.18)

 

3. При равенстве индексов i = j взаимная корреляционная функция равна корреляционной функции случайного процесса Xi(t):

 

. (6.19)

 

Случайные процессы Xi(t) и Xj(t) называются некоррелированными, если их взаимная корреляционная функция Ri,j(t,t') равна нулю при любых значениях t и t' при условии, что .