Лекция 7. Модели грунтового основания. Методы расчета осадок

1. Модели грунтового основания представляют собой теоретические обобщения экспериментальных данных о закономерностях деформирования оснований под нагрузкой. Классифицируются по следующим признакам: по учету распределительных свойств основания; по учету необратимых деформаций; по виду зависимости между напряжениями и деформациями (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Классификация моделей грунтового основания

По признаку учета распределительных свойств различают модель общих деформаций (рис. 7.1.1 а) и модель местных деформаций (рис. 7.1.1 б). Модель общих деформацийпредполагает, что осадки основания происходят не только на загруженной поверхности, но и за ее границами. Примером модели общих деформаций является модель линейно деформируемого полупространства. Модель местных деформаций предполагает, что осадки основания происходят только в пределах загруженной поверхности. Примерами модели местных деформаций являются модели Винклера и Фусса. По признаку учета необратимых деформаций различают упругие(рис. 7.1.2 а) и неупругие(рис. 7.1.2 б) модели. Для упругих моделей характерно совпадение графиков нагрузки и разгрузки, построенных в координатах «осадка – давление». Примерами упругих моделей являются модель линейно деформируемого полупространства и модель Винклера. В неупругих моделях графики нагрузки и разгрузки основания расходятся. При этом после полной разгрузки основания сохраняются необратимые (пластические) осадки (деформации). Примерами неупругих моделей являются модель Фусса и модель С.Н. Клепикова. По виду зависимости между напряжениями и деформациями (или давлениями и осадками) различают линейные (рис. 7.1.3 а) и нелинейные(рис. 7.1.3 б)модели. Примерами линейных моделей являются модель линейно деформируемого полупространства и модель Винклера. Нелинейные модели предложены С.Н. Клепиковым.

В соответствии с приведенной выше классификацией модель линейно деформируемого полупространства является линейной упругой моделью общих деформаций. Эта модель является основной в механике грунтов и именно на ее основе разработаны методы расчета осадок, содержащиеся в нормах на проектирование оснований. Осадка основания вычисляется интегрированием по загруженной поверхности формулы Буссинеска, устанавливающей зависимость вертикальных перемещений упругого полупространства от действующей на этой поверхности сосредоточенной силы P:

(7.1)

где n, Е – коэффициент Пуассона и модуль деформации грунта;
x, y, z – координаты точки.

При подстановке в формулу (7.1) z = 0 получим уже известное выражение для осадки поверхности упругого полупространства от действия сосредоточенной силы (множитель перед скобкой). Поскольку при R = 0 значение осадки становится неопределенным, конечные значения осадок вычисляют для нагрузок, распределенных по площади (рис. 7.2). Подставляя в формулу (7.1) вместо силы Р элементарную силу рdxdh и производя интегрирование по загруженной площади размерами 2×a´2×b, получим с учетом того, что z = 0 и R = [(x - x)²+(y - h)²]^1/2:

(7.2)

где р = Р /(4×a×b).

a

a

Рис. 7.2. Осадки основания по модели линейно деформируемого полупространства

Практический интерес представляет средняя осадка загруженной поверхности, так как она совпадает с осадкой от той же нагрузки жесткого штампа. Известно решение Шлейхера для определения осадки круглого жесткого штампа, загруженного равномерно распределенной нагрузкой, и аналогичное решение Баркана для прямоугольного штампа:

(7.3)

где w, w_z – коэффициенты формы подошвы штампа, являющиеся функциями геометрических размеров штампа в плане (приводятся в таблицах); d, A – диаметр и площадь подошвы штампа; р – среднее давление по подошве штампа.

Известно решение Жемочкина для вычисления осадок упругого полупространства от действия вертикальной силы Р, распределенной по площади c´b (b – ширина), в функции от координаты x, кратной длине загруженной площади с (рис. 7.3):

(7.4)

Рис. 7.3. Расчет осадок по методу Б.Н. Жемочкина

Значение функции f(x/c, b/c) приведено в таблице 7.1. Формулы (7.2) и (7.4) используются при расчете балок и плит на упругом полупространстве, например, для определения осадок основания в уравнениях неразрывности перемещений, в том числе от единичных значений неизвестных сил. В последнем случае p = 1/(4×a×b) в формуле (7.2) или p = 1/(b×c) в формуле (7.4).

Модель Винклера является по вышеприведенной классификации упругой линейной моделью местных деформаций. Характеризуется коэффициентом постели C = p / s, где р – давление на основание; s – осадка основания. Используется для расчета балок на упругом основании. Значения коэффициента постели приводятся в справочниках в зависимости от вида грунта и его состояния.

 

Таблица 7.1

x/c	f(x/c, b/c) при значениях b/c
2/3
	4,265	3,525	2,406	1,867	1,542	1,322
	1,069	1,038	0,929	0,829	0,746	0,678
	0,508	0,505	0,490	0,469	0,446	0,424
	0,336	0,335	0,330	0,323	0,315	0,305
	0,251	0,251	0,249	0,246	0,242	0,237
	0,200	0,200	0,199	0,197	0,196	0,193
	0,167	0,167	0,166	0,165	0,164	0,163
	0,143	0,143	0,143	0,142	0,141	0,140
	0,125	0,125	0,125	0,124	0,124	0,123
	0,111	0,111	0,111	0,111	0,111	0,110
	0,100	0,100	0,100	0,100	0,100	0,099
	0,050	0,050	0,050	0,050	0,050	0,050

P.S. Обратите внимание на то, что при x ¹ 0 данные таблицы 1 примерно равны c/x.

Модель Фусса является по принятой классификации неупругой линейной моделью местных деформаций. Как и модель Винклера при нагрузке характеризуется коэффициентом постели. Отличие от модели Винклера заключается в том, что при разгрузке достигнутая на рассматриваемом уровне нагружения осадка является необратимой. Это соответствует бесконечному значению коэффициента постели при разгрузке. Модель используется для расчета конструкций на линейно деформируемом неупругом основании.

Модель коэффициента жесткости. Основывается на зависимости между давлением и осадкой, принятой в модели Винклера. Однако при этом с помощью коэффициента постели учитываются (полностью или частично) распределительные свойства основания, неупругие и нелинейные особенности его деформирования и т.п. Коэффициент постели в этом случае называется коэффициентом жесткости. Частичный учет распределительных свойств грунтового основания достигается применением модели коэффициента жесткости, основанной на решениях теории упругости (7.3). При этом используются не только зависимости средней осадки от среднего давления на загруженной поверхности (7.3), но также аналогичные зависимости среднего углового перемещения от распределенной моментной нагрузки и среднего горизонтального перемещения от распределенной касательной нагрузки (рис. 7.4).

j

Рис. 7.4. Перемещения жесткого фундамента по модели коэффициента жесткости:
а – при равномерном сжатии; б – при неравномерном сжатии; в – при равномерном сдвиге

Соответствующие коэффициенты жесткости вычисляются по формулам:

;
;
(7.5)

где N, M, Q – соответственно продольная сила, изгибающий момент и поперечная (горизонтальная) сила, действующие на жесткий штамп с площадью подошвы, равной загруженной площади основания;
A, I – площадь и момент инерции площади подошвы штампа;
s, j, D_x – соответственно осадка, угол поворота и горизонтальное перемещение жесткого штампа (или соответствующие средние перемещения основания);
w_z, w_j, w_x – коэффициенты формы подошвы жесткого штампа (или загруженной площади);
Е – модуль деформации или модуль упругости грунта;
С_z, C_j, C_x – соответственно коэффициенты жесткости при равномерном сжатии, при неравномерном сжатии и при равномерном сдвиге.

Если определяются коэффициенты жесткости основания при действии статических нагрузок, в формулах (7.5) используется модуль деформации грунта. При решении динамических задач в формулы (7.5) подставляется значение модуля упругости грунта, определяемое по графику разгрузки основания. Формулы (7.5) впервые были получены Барканом для решения динамических задач механики грунтов.

Модель обобщенного коэффициента жесткости основания С.Н. Клепикова (этот материал рекомендуется изучать после прочтения п.п. 2, 3 и 4 настоящей лекции) предполагает наличие у грунта распределительных свойств при упругом деформировании и отсутствие таких свойств при пластическом деформировании. Суммарная осадка основания представляется суммой упругой и пластической осадки: S = S_e + S_p. Упругая осадка вычисляется с учетом распределительных свойств грунта, пластическая осадка соответствует модели местных деформаций. Указанные осадки вычисляются методом послойного суммирования (см. п. 3) в соответствии с нормами на проектирование оснований. При этом пластическая осадка вычисляется по модулю пластической деформации как осадка в центре загруженной поверхности, а упругая осадка вычисляется по модулю упругой деформации методом угловых точек (см. п. 4).

В случае штамповых испытаний модули деформаций E_pl и Е_el следует определять по графику зависимости осадки штампа от нагрузки на него по формулам:

(7.6)

(7.7)

где w – коэффициент формы подошвы штампа, равный 0,88 для квадрата и 0,89 для круга; A – площадь подошвы штампа; n – коэффициент Пуассона грунта, принимаемый для песков и супесей 0,3, суглинков 0,35, глин 0,42; S_pl, S_el – соответственно остаточная (пластическая) и упругая (восстанавливающая) осадка штампа; p – среднее давление по подошве штампа[VV1] .

В случае компрессионных испытаний модуль остаточных деформаций E_pl определяется по формуле:

(7.8)

где Е – модуль полной деформации, определяемый с учетом перехода от компрессионного к штамповому модулю полных деформаций;
Е_el – модуль упругой деформации, определяемый по кривой разгрузки компрессионной диаграммы сжатия на рассматриваемом диапазоне изменения давлений.

Распределительные свойства грунтового основания допускается не учитывать, если для грунтов, слагающих сжимаемую толщу, выполняется условие:

E_el / E_pl ³ 5. (7.9)

В каждой расчетной точке подошвы фундамента вычисляют остаточные (пластические) S_pl и упругие S_el осадки от среднего давления p по подошве фундамента.

При определении остаточных осадок основания S_pl по всем расчетным вертикалям (вертикалям, проходящим через расчетные точки подошвы фундамента) следует принимать такое же распределение дополнительных напряжений по глубине, как для вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента (рис. 7.5 б). Иными словами, при вычислении данной осадки фундамент условно перемещается плоскопараллельно в плане до совмещения его вертикальной центральной оси с расчетной вертикалью. При расчете осадок методом послойного суммирования остаточная (пластическая) осадка вычисляется по формуле:

(7.10)

где b – безразмерный коэффициент, равный 0,8; s_zp,i – среднее значение дополнительного вертикального нормального напряжения в i^-ом слое грунта по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента;
h_i – толщина i^-го слоя грунта; E_pl,i – модуль остаточных деформаций i^-го слоя грунта; n – число слоев, на которое разбита сжимаемая толща основания.

Упругие осадки основания S_el по расчетным вертикалям следует определять с учетом неравномерного распределения вертикальных нормальных напряжений по горизонтальным сечениям сжимаемой толщи основания (рис. 7.5 а). Значения этих напряжений на глубине по вертикали, проходящей через расчетную точку подошвы фундамента, следует определять методом угловых точек. Упругую осадку основания S_el по расчетной вертикали следует определять по формуле:

(7.11)

где s¢_zp,i – среднее значение дополнительного вертикального нормального напряжения в i^-том слое грунта по рассматриваемой вертикали, определяемое как сумма напряжений в общей угловой точке для четырех прямоугольников, на которые разделяется подошва фундамента;
E_pl,i – модуль упругих деформаций i^-го слоя грунта.

В каждой j^-ой расчетной точке (рис. 7.5) определяется полная осадка основания по формуле:

S_j = S_pl,j + S_el,j. (7.12)

Коэффициент жесткости основания С_z,j по рассматриваемой j^-ой вертикали определяется по формуле:

С_z,j = p / S_j . (7.13)

Модель основания, описываемая формулами (7.10) – (7.13), может быть классифицирована как линейно-неупругая модель общих деформаций.

Многочисленными экспериментальными исследованиями установлено наличие у большинства грунтов ярко выраженных распределительных свойств. Например, эти свойства проявляются в форме влияния на осадки построенных сооружений нагрузок от вновь строящихся сооружений. В этой связи модель Винклера, не учитывающая распределительные свойства грунта, подвергается постоянной критике. Вместе с тем результаты расчета балок на упругом основании с использованием модели Винклера во многих случаях дают результаты, удовлетворительно согласующиеся с практикой. Установлено также, что модель линейно деформируемого полупространства существенно переоценивает распределительные свойства грунта. В действительности осадки на незагруженной поверхности затухают значительно быстрее, чем это следует из теории. По этой причине в практике проектирования и расчета оснований широкое применение нашли модели коэффициента жесткости основания, позволяющие при правильно выбранных параметрах более полно и точно отражать реальные свойства грунтовых оснований при их нагружении и разгрузке.

2. Одномерная задача компрессионного уплотнения. Решение этой задачи лежит в основе метода послойного суммирования для расчета осадок основания, сложенного разнородными грунтами. Определим осадку тонкого бесконечно протяженного слоя (рис. 7.6), напряженным состоянием которого при действии вертикальной распределенной по всей поверхности слоя нагрузки является осесимметричное компрессионное сжатие.

Рис. 7.6. Расчетная схема одномерного компрессионного уплотнения

Осадку слоя определим интегрированием по его толщине h_i функции вертикальной деформации e_z,i от действия вертикальных напряжений s_z,i. В связи с малой толщиной слоя будем полагать, что вертикальные напряжения по его высоте распределяются равномерно. Используя закон уплотнения Терцаги, будем иметь:

(7.14)

где e₀ – начальный коэффициент пористости; m, m_v – коэффициенты сжимаемости и относительной сжимаемости; n_i, E_i – коэффициент Пуассона и модуль деформации i^-го слоя грунта.

3. Метод послойного суммирования. Существенным недостатком формул (7.2) и (7.4) является предположение об однородности грунтового массива по глубине. В большинстве практических случаев основание сложено по глубине разнородными грунтами, представленными в материалах инженерно-геологических изысканий инженерно-геологическими элементами (ИГЭ). Метод послойного суммирования позволяет учитывать разнородность грунтового массива по глубине. В основе метода лежит суммирование осадок элементарных слоев от действия дополнительных напряжений с использованием формулы (7.14). При этом распределение дополнительных напряжений в грунтовом массиве принимается в соответствии с моделью линейно деформируемого полупространства (см. лекции 3, 4). Дополнительными напряжениями называют напряжения в грунтовом массиве от действия внешней нагрузки. Расчетная схема определения осадок основания по методу послойного суммирования представлена на рис. 7.7.

szg,i

Рис. 7.7. Расчет осадки методом послойного суммирования

Основными допущениями метода послойного суммирования являются следующие предпосылки: 1) напряжения в грунтовом массиве не превышают расчетного сопротивления грунта, что позволяет использовать для расчета осадок закон уплотнения Терцаги; 2) поперечные деформации грунта равны нулю, что позволяет использовать для вычисления модуля деформации грунта решения, полученные для осесимметричного компрессионного сжатия; 3) распределение дополнительных вертикальных напряжений по глубине грунтового массива принимается как для центрального сечения равномерно загруженной поверхности линейно деформируемого полупространства; 4) сжимаемая зона грунтового массива ограничена глубиной, на которой дополнительные давления не превышают 10–20 % бытовых давлений. Перечисленные выше допущения проверены многочисленными экспериментами и натурными наблюдениями за осадками построенных зданий и сооружений.

Расчетная формула метода послойного суммирования имеет вид:

(7.15)

где р – давление на уровне подошвы фундамента; s_zg,0 – бытовое давление на уровне подошвы фундамента; s_zp,i, s_zg,i – соответственно дополнительное и бытовое давление в центре i^-го слоя грунта; a_i – коэффициент распределения дополнительных давлений в центральном сечении фундамента (функция соотношений размеров фундамента в плане и относительной глубины i^-го слоя грунта); b – коэффициент вида напряженного состояния, принимаемый равным 0,8; E_i, h_i – модуль деформации и толщина i^-го слоя грунта; 0,2 (0,1) – коэффициенты ограничения сжимаемой толщи массива грунта; n – количество расчетных слоев грунта в сжимаемой толще.

Если в основании сжимаемой толщи залегает грунт с модулем деформации менее 5 МПа, в формуле (7.15) принимается коэффициент ограничения сжимаемой толщи 0,1, в противном случае 0,2. Бытовое давление вычисляется от природного рельефа при планировке подсыпкой (рис. 7.7) или от планировочной отметки при планировке срезкой грунта. При вычислении бытовых давлений учитывается взвешивающее действие воды и гидравлический напор на уровне водоупора. Толщина элементарного слоя грунта принимается не более 0,4 ширины фундамента. Границами элементарных слоев обязательно должны быть границы геологических слоев, уровень грунтовых вод и уровень водоупорного слоя.

4. Метод угловых точек. Является разновидностью метода послойного суммирования для вычисления осадок в произвольной точке поверхности грунтового массива, в том числе за границами загруженной поверхности.

Вычисления выполняются по формуле (7.15) при подстановке в нее вместо напряжений по центральной оси фундамента s_zp,i напряжений по вертикали, проходящей через рассматриваемую точку поверхности грунтового массива s_zpc,i. Указанные напряжения от действующих на поверхности грунтового массива нагрузок вычисляются методом угловых точек (см. лекцию 4).

5. Метод линейно деформируемого слоя. Используется в тех случаях, когда метод послойного суммирования дает завышенные значения осадок. К этим случаям относятся следующие: 1) в толще грунтового массива залегает практически несжимаемый грунт с модулем деформации, равным или более 100 МПа; 2) ширина фундаментов равна или превышает10 м и под подошвой фундаментов залегает грунт с модулем деформации, равным или более 10 МПа. Более строго область применимости метода линейно деформируемого слоя регламентирована в нормах на проектирование оснований и фундаментов. По структуре расчетных формул этот метод практически не отличается от метода послойного суммирования. Основным отличием является то, что в методе линейно деформируемого слоя глубина сжимаемой толщи ограничена толщиной этого слоя Н, например, глубиной залегания практически несжимаемого слоя грунта. Осадка основания вычисляется по формуле (рис. 7.8):

(7.16)

где р – среднее давление под подошвой фундамента; b – ширина подошвы фундамента; k_c – коэффициент, зависящий от относительной мощности слоя; k_m – коэффициент, зависящий от модуля деформации грунта;
k_i, k_i-1 – коэффициенты распределения давлений в линейно деформируемом слое (табулированы в нормах на проектирование оснований);
E_i – модуль деформации грунта.

 

Рис. 7.8. Расчет осадок методом линейно деформируемого слоя

6. Определение крена фундамента. Крен фундамента (угловое перемещение), обусловленный внецентренным приложением вертикальной нагрузки, определяется по формуле:

(7.17)

где k_m – то же, что в формуле (7.16); k_e – коэффициент, зависящий от относительной толщины сжимаемого слоя 2H_c/b и отношения размеров фундамента в плане a/b; N, e – вертикальная сила, действующая на фундамент, и эксцентриситет ее приложения; а – размер стороны фундамента в направлении поворота; n_i, Ei, h_i – коэффициент Пуассона, модуль деформации и толщина i^-го слоя грунта; Н_с – толщина сжимаемого слоя; А_i – площадь эпюры вертикальных давлений от среднего давления под подошвой фундамента 1 МПа в пределах i^–го слоя грунта (рис. 7.9).

Рис. 7.9. Схема к осреднению модуля деформации грунта по глубине грунтового массива

Следует обратить внимание на то, что разнородность грунтов основания по глубине в формуле (7.17) учитывается путем осреднения по глубине модуля деформации и коэффициента поперечной деформации грунта.