Расчет плоской фермы методом вырезания узлов

 

Способ вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов. Для этого в качестве объекта исследования один за другим выбирают все узлы фермы. Для каждого из них составляют расчетную схему сил и уравнения равновесия. Способом вырезания узлов удобно пользоваться, когда нужно найти усилия во всех стержнях фермы.

Пример: к узлам плоской фермы (рис. 4.8) приложены внешние силы: Р₁ = 1 кН, Р₂ = 5 кН, Р₃ = 2 кН, Р₄ = 2 кН, Р₅ = 3 кН, Р₆ = 3 кН. Необходимо определить усилия в стержнях фермы.

 

Рис. 4.8

 

Решение:

1. Стержни фермы будем заранее считать растянутыми, тогда положительным усилиям соответствуют растянутые стержни, отрицательным – сжатые. Стержни фермы пронумеруем арабскими цифрами (1, 2, …, 9), узлы – римскими цифрами (I, II,…,VI) (рис. 4.8). В рассматриваемой ферме число узлов У =15, число стержней С =27.

Условие статической определимости фермы:

С = 2·У–3 27 = 2·15-З.

Условие статической определимости выполняется. Ферма статически определима.

2. Отбросим внешние связи и составим уравнения равновесия для всей фермы:

∑Fkх=0; XB + P1 - P4 = 0	(1)
∑Fkу=0; NA - P2 - P3 - P5 - P6 + YB = 0 => YB = P2+ P3 + P5 + P6 - NA	(2)
∑mВ(Fk)=0; P1·2·a + P2·5·a + P3·4·a + P4·2·a + P5·2·a + P6·a - NA·6·a = 0	(3)

Из уравнения (1) находим: X_В = P₄ - P₁ = 2-1 = 1 кH.

Из уравнения (3) находим: N_A = 8 кH.

Из уравнения (2) Y_B = 5кH.

Проверка. Составим уравнение равновесия моментов сил относительно точки А:

∑m_A(F_k)= Y_B·6·a + P₁·2·a - P₂·a - P₃·2·a + P₄·2·a - P₅·4·a - P₆·5·a =

= (5·6 + 1·2 – 2·2 + 2·2 – 3·4 – 3·5 - 5)·a = (36 - 36)·a = 0.

Опорные реакции определены верно.

3. Согласно лемме о «нулевых» стержнях по признаку I усилия в стержнях 26 и 27 равны нулю, поэтому эти стержни следует удалить.
По признаку 2 леммы стойка 14 «нулевая»; усилие в стержне 1 равно нулю по признаку 3. Удалим из схемы фермы все «нулевые» стержни, а силу Р₁ как скользящий вектор вдоль линии ее действия и приложим к узлу III.

4. Пронумеруем оставшиеся стержни и проверим «исправленную» ферму на статическую определимость (рис. 4.9).

 

Рис. 4. 9

 

Арабскими цифрами обозначены номера стержней, римскими цифрами – номера узлов. Число узлов равно 12, число стержней равно 21. Условие статической определимости запишем в виде: С = 2·У-3 = 2·12-3 = 21. Ферма жесткая, статически определимая.

5. Применим способ вырезания узлов. Составим уравнения равновесия для каждого узла фермы.

Результаты запишем в виде табл. 4.1.

Таблица 4.1