Узловые уравнения установившегося режима

Рассмотрим пример направленного графа электрической сети, изображенного на рис. 3.10.

Для удобства записи в матричной форме параметров ветвей присвоим каждой ветви ее порядковый номер (на рис. 3.10 курсив). Составим матрицу соединений M для этого графа:

(3.10)

Рис. 3.10. Пример графа
электрической сети

Умножим эту матрицу на матрицу токов ветвей, будем иметь:

(3.11)

Полученное соотношение является первым законом Кирхгофа в матричной форме записи

(3.12)

Так как к узлам графа электрической сети еще присоединены другие поперечные ветви с ЭДС и проводимостью шунта, то задающий ток в (3.12) включает в себя также токи данных ветвей

(3.13)

Здесь: J_г – матрица токов генерации (ветви с ЭДС), которые определяются через мощности генерации;

J_н – матрица токов нагрузки, которые определяются через мощности нагрузки (имеет обратное направление – от узла);

J_Y – матрица токов в проводимостях шунтов, которые зависят от проводимости шунта из матрицы Y_N и напряжения в узле из матрицы U (также имеет обратное направление – от узла, так как моделирует потребление мощности).

Умножим транспонированную матрицу соединений М^T на матрицу узловых напряжений, получим:

(3.14)

или

. (3.15)

По закону Ома в матричной форме записи имеем

(3.16)

или

(3.17)

Подставим в (3.12) выражение для матрицы токов ветвей (3.17) и затем (3.15), получим

(3.18)

Введем обозначение

(3.19)

тогда (3.18) приобретет вид

(3.20)

Полученное соотношение является уравнением узловых напряжений (потенциалов) в матричной форме записи. Матрицу Y называют матрицей узловых проводимостей электрической сети. Рассмотрим структуру этой матрицы, для чего выполним матричные перемножения в (3.19). Заметим, что обратная матрица сопротивлений ветвей легко получается в силу своего диагонального вида – ее элементы суть обратные величины к сопротивлениям ветвей и являются проводимостями продольных ветвей.

Вначале перемножим первые две матрицы матричного произведения (3.19):

. (3.21)

Полученную матрицу умножим справа на матрицу M^T. В результате получим:

(3.22)

Из полученной матрицы можно сделать следующие выводы о вычислении ее элементов.

1. Элементы, расположенные на главной диагонали матрицы, вычисляются как сумма проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу:

(3.23)

где Y_ii – диагональный элемент матрицы Y;

Z_j – сопротивление j-й ветви;

w_i – множество номеров узлов, связанных с i-м узлом.

2. Недиагональные элементы равны проводимостям ветвей, имя каждой из которых состоит из номеров узлов, соответствующих номеру строки и номеру столбца, на пересечении которых находится данный элемент, и взятых с противоположным знаком. Матрица Y является симметричной матрицей.

(3.24)

Запишем уравнение узловых напряжений для узла с номером i:

(3.25)

Объединив подобные члены, получим, что в диагональные элементы матрицы Y войдут дополнительные слагаемые Y_Ni:

(3.26)

т. е. диагональный элемент будет равен сумме проводимостей всех подходящих к i-му узлу ветвей, включая поперечную ветвь – шунт Y_Ni.

Задающие токи узлов в (3.20) будут состоять только из токов генерации и токов нагрузки.

В случае отсутствия связей с нейтральной плоскостью N система уравнений (3.20) не имеет единственного решения, так как в этом случае определитель матрицы Y равен нулю. Сумма всех задающих токов в такой сети равна нулю:

(3.27)

Следовательно, среди всех n узлов можно выделить узел, например с номером n, ток в котором равен

(3.28)

Для уравнений узловых напряжений это означает, что одно уравнение лишнее, т. е. зависит от остальных уравнений и может быть получено через сумму всех остальных уравнений. Так как ток в этом узле может быть получен из баланса токов в сети (3.28), то его называют балансирующим. Обычно это шины мощной электростанции или системы.

Таким образом, из системы (2.20) исключается одно уравнение и тогда получается система независимых линейных уравнений порядка
n – 1. Однако, поскольку число неизвестных напряжений по-прежнему равно n, в одном из узлов следует задать напряжение по величине и фазе так, чтобы все напряжения вычислялись относительно этого известного напряжения. Такой узел в сети называется базисным. Обычно фазу напряжения базисного узла принимают равной нулю, т. е. вектор напряжения базисного узла совмещают с действительной осью. Остальные узлы называют независимыми узлами.

Во многих случаях балансирующий узел и базисный узел совмещают, и в дальнейшем будем считать, что это один и тот же узел.

Таким образом, с исключением уравнения для базисного балансирующего узла с номером n будем иметь систему уравнений (3.20) с числом уравнений n – 1, однако в эти уравнения будет входить слагаемое с заданным напряжением базисного узла.

Изменим номер базисного балансирующего узла. Пусть его номер есть 0 (ноль). Тогда уравнение (3.20) приобретет следующий вид:

(3.29)

где Y₀ – матрица проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с базисным балансирующим узлом;

U₀ – напряжение базисного узла (скаляр).

Матрица узловых проводимостей в (3.29) имеет порядок n – 1 и определется через матрицу инциденций M, в которой нет одной строки, соответствующей балансирующему узлу.

Необходимо заметить, что во всех уравнениях, где одновременно присутствуют токи и напряжения (3.16), (3.17), (3.18), (3.20), (3.25) и (3.29), напряжения даны в фазных значениях, хотя индекс (буква «ф») для простоты не записывался. Эти же уравнения можно считать записанными и для линейных напряжений, однако токи будут увеличенными в раз, и для вычисления истинных токов их следует уменьшать в .

 

3.5. Формы линейных уравнений
установившегося режима и их решение

Известными независимыми переменными в уравнениях установившегося режима могут быть задающие токи узлов и напряжение базисного узла. В этом случае решение уравнения (3.29) может быть записано в виде

(3.30)

Здесь Z – матрица узловых сопротивлений.

Численное решение системы уравнений (3.29) выполняется методом Гаусса или другим методом решения системы линейных алгебраических уравнений.

В случае, когда известны мощности в узлах сети – задающие мощности S_i, токи можно вычислить приближенно через номинальные напряжения (i = 1,…, n – 1). Задающие мощности так же, как и токи, складываются из мощности генерации и мощности нагрузки:

(3.31)

Другой приближенный подход связан с представлением задающих токов через напряжения и проводимости , где Y_Si – проводимость генерации и/или нагрузки (схема замещения). Для i-го узла имеем:

(3.32)

Объединив подобные члены, получим

(3.33)

где в элемент Y_ii входит проводимость Y_Si. Знак перед этой проводимостью зависит от того, какая мощность преобладает в узле: плюс, если нагрузка, и минус, если генерация. В матричной форме записи:

(3.34)

Решение матричного уравнения (3.34) запишется в виде

(3.35)

Комплексную матрицу узловых проводимостей Y иногда представляют в блочной форме через ее вещественную G и мнимую B составляющие, и тогда система уравнений (3.34) становится системой с вещественными величинами:

(3.36)

После перемножения двучленов в (3.35) будем иметь:

(3.37)

Приравняем отдельно вещественные и мнимые части полученного уравнения и получим два матричных уравнения с вещественными величинами:

(3.38)

или в компактной форме записи:

(3.39)

Решение (3.39) запишется в виде

(3.40)

Пример 2.Рассчитаем напряжения в узлах и токи в ветвях схемы электрической сети, граф которой изображен на рис. 3.10. Исходные данные для расчета и расчет представлены в системе Mathcad.

Исходные данные

Напряжение базисного узла

Сопротивления ветвей и задающие токи узлов:

Расчетные данные

Модель электрической сети

1. Составление матрицы инциденций узлов и ветвей M:

2. Формирование диагональной матрицы проводимостей ветвей Y:

3. Составление матрицы-столбца проводимостей ветвей, связывающих узлы схемы с базисным узлом Y₀:

4. Получение матрицы узловых проводимостей Y:

Вычисления

1. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы:

2. Расчет других параметров режим сети:

Напряжение ветвей

3. Проверка результатов: сумма задающих токов должна быть равна току балансирующего узла с обратным знаком:

Сумма задающих токов

3.6. Нелинейные уравнения
установившегося режима

Так как во многих случаях расчеты ведутся при заданных мощностях нагрузок и генерации, то их следует ввести в уравнения установившегося режима.

Мощность в трехфазной сети в симметричных режимах выражается суммарной мощностью всех трех фаз:

(3.41)

В матричной форме это выражение можно записать, используя операцию диагонализации матрицы U. Матрица diag{U} есть квадратная матрица, в которой элементы матрицы U расположены по главной диагонали, а все остальные элементы равны нулю. Тогда

(3.42)

Уравнение установившегося режима записано для фазных токов и напряжений. Умножим обе части этого уравнения на и применим к величинам этого уравнения операцию сопряжения, получим

(3.43)

В левой части этого уравнения после умножения на напряжения стали линейными.

Умножим левую и правую части уравнения (3.43) слева на матрицу diag{U}, получим

(3.44)

Система уравнений (3.44) является системой нелинейных уравнений установившегося режима. В зависимости от формы представления комплексных величин применяют две основные формы этой системы уравнений.

Вначале рассмотрим алгебраическую форму записи. Для i-го узла имеем:

(3.45)

После перемножения двучленов и разделения уравнения на два уравнения с вещественными величинами получим систему 2(n – 1) алгебраических уравнений

(3.46)

Здесь i = 1,…, n – 1.

Тригонометрическая форма нелинейных уравнений установившегося режима может быть получена, если комплексные величины в уравнении (3.44) записать в виде

(3.47)

Тогда

(3.48)

Уравнение (3.48) в тригонометрической форме запишется как

, (3.49)

, (3.50)

и после разделения на два вещественных уравнения

(3.51)

Обычно вместо угла y_ij используют дополняющий до 90° угол a_ij. a_ij = 90 - y_ij, y_ij = 90 - a_ij.

Тогда cos(d_i – d_j – y_ij) = cos(d_i – d_j – 90° + a_ij), а с учетом четности функции косинус cos(d_i – d_j – 90°+ a_ij) = cos(90° – d_i + d_j – a_ij). Имея
в виду, что cos(90° – b) = sin(b), получим cos(90° – d_i + d_j – a_ij) =
= sin(d_i – d_j + a_ij).

Аналогично sin(d_i – d_j – y_ij) = sin(d_i – d_j – 90 + a_ij) = –sin(90° – d_i +
+ d_j – a_ij), в силу нечетности функции синус. Так как sin(90° – b) =
= cos(b), получим –sin(90° – d_i + d_j – a_ij) = –cos(d_i – d_j + a_ij). Подставляя полученные соотношения в (3.51), будем иметь:

(3.52)

В полученной системе нелинейных уравнений установившегося режима искомыми переменными являются модули и фазовые углы напряжений, в то время как в уравнениях (3.46) неизвестными являются вещественная и мнимая составляющие напряжений.

Пример 3. Рассчитаем напряжения в узлах и потоки мощности в ветвях схемы сети, граф которой изображен на рис. 3.10. Исходные данные для расчета и расчет представлены в системе Mathcad.

Исходные данные

Погонные параметры ЛЭП:

Мощности нагрузок узлов

Задающие нагрузок узлов

Номинальное напряжение сети

Напряжение базисного узла

Модель электрической сети

1. Расчетные параметры ЛЭП:

2. Составление матрицы инциденций узлов и ветвей M:

3. Формирование матрицы проводимостей ветвей Y_b:

4. Получение матрицы узловых проводимостей Y:

5. Емкостные проводимости поперечных ветвей Yc:

6. Корректировка диагональных элементов матрицы Y

7. Расширение матрицы узловых проводимостей добавлением столбца для базисного балансирующего узла:

Вычисления

1. Решение системы нелинейных уравнений установившегося режима

Начальные приближения:

Решающий блок – приближенное решение:

=

=

=

Результат решения – узловые напряжения (в экспоненциальной форме записи):

2. Расчет других параметров режима сети

Напряжения в начале и конце ветвей и токи узлов ветвей:

Мощности в начале и конце ветвей:

Потери мощности в ветвях:

3. Проверка результатов расчета: сумма мощностей узлов, потерь и зарядной мощности в сети должна быть равна мощности балансирующего узла:

3.7. Моделирование генераторных узлов
электрической сети

Генераторными узлами называют узлы, в которых генерируется активная мощность. Реактивная мощность, как правило, также генерируется в узлах. Генераторные узлы – это шины электрических станций или шины мощной системы, схема которой не входит в модель для расчетной схемы. Моделируются генераторные узлы по-разному:

· так же, как и узел нагрузки, – постоянными значениями активной и реактивной мощности, но с противоположным знаком;

· постоянным значением активной мощности и фиксированным значением модуля напряжения в узле. Реактивная мощность не известна и подлежит расчету;

· генераторный узел – это базисный и балансирующий узел одновременно. Активная и реактивная мощности узла подлежат вычислению;

· генераторный узел – это базисный узел, но с известными значениями активной и реактивной мощности – заданы все четыре независимых параметра режима – P, Q, U, d;

· генераторный узел – это балансирующий узел, но напряжение в нем не известно ни по модулю, ни по фазе. Подлежат определению все четыре независимых параметра режима – P, Q, U, d.

При фиксации активной мощности и модуля напряжения обычно в уравнения установившегося режима входит уравнение для активной мощности узла (3.46) и уравнение вида: , где U_i задано, а и подлежат определению.

В тех случаях, когда для одного из узлов требуется задать все четыре независимых параметра режима – P, Q, U, d (базисный узел), то в сети должен появиться узел, в котором не известен ни один из этих четырех параметров – балансирующий узел. Происходит разделение балансирующего и базисного узлов.

Форма уравнений установившегося режима меняется, а именно –перестраивается матрица узловых проводимостей. Так, например, если для графа сети на рис. 3.10 базисным стал узел 2, а балансирующим остался узел 0, то матрица Y принимает вид:

 

 

Пример 4. Рассчитаем напряжения в узлах электрической сети (рис. 3.11) при несовпадении базисного и балансирующего узлов.

 

Рис. 3.11. Схема сети примера 4

Ветви 1, 2 и 3 графа – это линии электропередачи 110 кВ, выполненные проводом марки АС-120/19 с погонными параметрами r₀ = 0,249 Ом/км;
x₀ = 0,427 Ом/км; b₀ = 2,6 мкСм/км. Три двухобмоточных трансформатора имеют номинальные напряжение обмоток высшего и низшего напряжения соответственно 115 и 11 кВ.

Параметры линий и трансформаторов приведены в табл. 3.1 и 3.2

Таблица 3.1

Параметры ЛЭП

Наименование	Начало	Конец	Длина, км	R, Ом	X, Ом	B, мкСм
Л-1			7,2	1,79	3,07	19,2
Л-2			3,4	0,85	1,45	9,0
Л-3			12,3	3,06	5,25	32,7

Таблица 3.2

Параметры трансформаторов

Наименование	Начало	Конец	Тип	R, Ом	X, Ом	DP, кВт	DQ, квар
Т-1			ТМН-6300/110	15,99	220,42
Т-2			ТДН-10000.110	7,93	136,86	15,1
Т-3			ТДН-16000/110	4,44	86,79	21,3

Мощности нагрузки даны для шин низкого напряжения трансформаторов – узлы 1 (T1), 2 (T2) и 4 (Т3).

P_T1 + jQ_T1 = 5,0 + j2,5 МВ·А; P_T2 + jQ_T2 = 7,0 + j3,5 МВ·А;

P_T1 + jQ_T1 = 12,0 + j6,0 МВ·А.

Приведем два расчета: вначале расчет, когда базисный и балансирующий узлы совпадают – узел 7; затем – балансирующим остается узел 7, а базисным является узел 5. Расчеты выполним в системе Mathcad. Сопротивления в омах, проводимости в сименсах, напряжения в киловольтах, мощности в мегаваттах.

Системная переменная начального номера массивов:

Исходные данные по линиям:

Расчетные данные по линиям:

Исходные и расчетные данные по трансформаторам:

Исходные данные по мощностям нагрузок:

Вектор проводимостей продольных ветвей и вектор проводимостей связи независимых узлов с базисным узлом (в первом расчете – узел 7):

Матрица инциденций M и матрица узловых проводимостей:

Корректировка диагональных элементов матрицы узловых проводимостей для учета поперечных ветвей П-образных схем замещения линий и трансформаторов:

Результирующая матрица узловых проводимостей:

Матрица задающих мощностей в узлах сети:

Напряжение в базисном узле и начальные приближения напряжений в узлах:

Решающий блок:

Выполним расчет для случая, когда базисным узлом является узел 5, а балансирующим остается узел 7. Поменяем в матрице Y столбец, соответствующий узлу 5; теперь это столбец проводимостей связи узлов с узлом 7. Прежний столбец матрицы Y для узла 5 войдет в систему уравнений умноженным на известное напряжение узла 5 – напряжение базисного узла.

Матрица узловых проводимостей для нового расчета:

Матрица не является симметричной, и на диагонали имеется один нулевой элемент.

Напряжение нового базисного узла возьмем для сравнения результатов расчета таким, каким оно получилось в предыдущем расчете:

Решающий блок:

В векторе узловых напряжений на 5-м месте расположено значение напряжения в узле 7, которое являлось искомым и получилось именно таким, каким было задано в первом расчете. Все остальные напряжения совпадают с прежними значениями.