Теоремы сложения и умножения вероятностей

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события об­разуют полную группу.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероят­ность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается Р(В/А).

Теорема умножения вероятностей двух событий. Вероятность про­изведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

Р{АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появле­ния другого, то такие события называются независимыми.

Для независимых событий вероятность их произведения равна про­изведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

События называются совместными, если они могут появиться одно­временно в одном опыте.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Веро-ятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления-.

Р(А + В)= Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Задачи

31. Вероятности событий A и B равны соответственно 0,3 и 0,4. Чему равна вероятность их суммы, если вероятность их произведения 0,1?

32. На полке находится 10 книг, расставленных в произ­вольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три — по математическому анализу и четыре — по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероят­ностей или по линейной алгебре?

33. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оп­товых складов: четыре с первого, пять со второго, семь с третьего и четыре с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего склада?

34. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,5. Какова вероятность того, что первое и второе орудия промахнулись?

35. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта в каталоге, равна 0.04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0.06. Предполагается, что оба события независимы. Чему равна вероятность того, что

А) потребитель увидит обе рекламы

Б) потребитель увидит только рекламу в каталоге

В) потребитель не увидит рекламы этого товара

36. Прибор выходит из строя, если выходит из строя любой из трех его узлов, работающих независимо. Вероятности выхода из строя в течение года соответственно узлов равны 0,3; 0,2; 0,25. Найти вероятность того, что прибор в течение года не выйдет из строя.

37. На полке стоят одинаковые по внешнему виду книги: 2 по математике и 3 по физике. Студент последовательно просматривает книги до тех пор, пока не найдет книгу по математике. Какова вероятность того, что ему придется просмотреть 4 книги?

38. Охотник может произвести по летящей дичи один за другим три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,8; 0,6 и 0,4. Стрельба прекращается после попадания в цель. Найти вероятность того, что охотник: а) попадет в дичь при третьем выстреле; б) произведет все три выстрела.

39. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, а второй с вероятностью 0,8. Каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Какова вероятность того, что один из них промахнулся?

40. В порт приходят корабли только из трех пунктов от­правления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта — 0,6. Найти вероятность при­бытия корабля из третьего пункта.

41. Контролер проверяет изделия на соответствие стан­дарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту из­делий равна 0,9.

а) Какова вероятность того, что из двух проверенных изде­лий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?

б) Какова вероятность того, что из двух проверенных изде­лий только одно стандартное?

42. Вероятность правильного оформления счета на пред­приятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки бы­ли взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

43. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно.

44. Среди 20 электролампочек 3 нестандартные. Одновременно берут 3 лампочки. Найти вероятность того, что не менее двух лампочек будут стандартными.

45. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 4 новые электролампочки. Каждая электролампочка в течение года может перегореть с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что в течение года из числа включенных в начале года придется заменить новыми: а) не менее 3 ламп; б) не более 3 ламп.

46. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

47. В городе находятся 15 продовольственных и 5 непро­довольственных магазинов. Случайным образом для привати­зации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что все эти магазины непродовольственные.

48. В магазине имеются 10 женских и б мужских шуб. Для анализа качества отобрали три шубы случайным образом. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб окажутся:

а) только женские шубы;

б) только мужские или только женские шубы.

49. На предприятие поступают заявки от нескольких тор­говых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность пос­тупления заявок от пункта А или от пункта В, считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но совместными.

50. В вазе стоят 3 розы и 7 гвоздик. Выбирается случайным образом 3 цветка. Найти вероятность того, что выбранными окажутся: а) все розы; б) не менее 2 гвоздик.

51. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх учебниках. Вероятность того, что формула содержится в первом учебнике 0,4, во втором – 0,7, в третьем – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) формула содержится во всех учебнике;

б) формула содержится только в двух учебниках;

г) формулы нет ни в одном из учебников.

д) формула содержится хотя бы в одном учебнике;

52. Покупатель может приобрести акции трех компаний: А, В и С. В течение следующего года надежность первой компании оценивается экспертами в 99%, второй – в 98%, третьей - 97%. Чему равна вероятность того, что

а) все три компании станут банкротами?

Б) ни одна компания не обонкротится

В) обанкротится только компания А

Г) обанкротятся компания А и компания С

в) только одна компания в течение следующего года станет банкротом

г) две компании обанкротятся