Классическое определение вероятности события

В результате многократного повторения одних и тех же условий, ко­торые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появ­ление или непоявление в них некоторого события. Такое событие, кото­рое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным.

Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий. Например, при бросании игральной кости имеется одна и та же возмож­ность появления любой из цифр от 1 до 6. Другим примером может слу­жить выбор номера объекта при контрольной выборочной проверке.

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) назы­вается элементарным исходом. Элементарный исход может быть рас­смотрен либо как самостоятельное событие, либо как составляющая бо­лее сложного события.

На множестве всех элементарных исходов Q можно выделить под­множество, которое обладает заданными свойствами и определяет новое событие. Например, на множестве элементарных исходов при бросании игральной кости можно выделить подмножество таких исходов, которые соответствуют четному числу очков.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление такого события. В частности, по­явлению четного числа очков при бросании игральной кости соответст­вуют элементарные исходы с цифрами 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления некоторого случай­ного события служит вероятность.

При классическом определении за вероятность события А принима­ется отношение числа благоприятствующих этому событию элементар­ных исходов (т) к общему числу возможных исходов (n):

Р(А) = m/ п

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому со­бытию исходов или общего числа элементарных исходов широко исполь­зуются формулы комбинаторики.

Если составляются такие комбинации из п элементов по т, которые отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются сочетаниями. Общее число сочетаний из п элементов по т определяется по формуле

Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и по­рядком их следования, то они называются размещениями. Их число на­ходится цо формуле

Если комбинации берутся из всех п элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками. Их число равно

Задачи

1. В магазин постудило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

2. Игральную кость подбросили один раз. Какова вероятность того, что выпадет не менее пяти очков?

3. Пин код банковской карточки состоит из четырех цифр. Владелец карточки забыл последнюю цифру. Какова вероятность, не зная кода, набрать код правильно с первой попытки?

4. При игре в карты пользуются колодой из 36 карт. Какова вероятность того, что первой сданной картой будет не карта масти «пик»?

5. Выпущено 1000 лотерейных билетов. На 100 из них приходится выигрыш в 100 ден.ед., на 50 в 500 ден. ед. и на 10 в 1000 ден.ед. Студент приобрел один билет. Какова вероятность, что он

а) выиграет 1000 ден.ед.

б) не получит никакого выигрыша.

6. Выпущено 1000 лотерейных билетов. На 100 из них приходится выигрыш в 100 ден.ед., на 50 в 500 ден. ед. и на 10 в 1000 ден.ед. Студент приобрел два билета. Какова вероятность, что он

а) выиграет 2000 ден.ед.

б) выиграет 200 ден.ед.

в) выиграет 500 ден.ед.

б) не получит никакого выигрыша.

7. В классе учатся 10 юношей и 15 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три школьника. Найти вероятность того, что все дежурные окажутся юношами.

8. Какова вероятность, вытягивая из колоды в 36 карт 4 карты, вытянуть 2 дамы и два туза?

9. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 30 магазинов, среди которых находятся и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?

10. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти веро­ятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

11. Какова вероятность в игре «Спортлото 5 из 36» получить максимальный выигрыш (т.е. угадать 5 номеров)?

12. Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Найти вероятность следующих событий:

а) в выборке не будет ни одного бракованного изделия;

б) в выборке будет одно бракованное изделие?

13. В партии из 20 изделий 5 имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 10 изделий дефектными окажутся 2 изделия?

14. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две ока­жутся акциями банкротов?

15. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность то­го, что среди отобранных деталей две окажутся бракован­ными? »

16. На склад привезли 50 ящиков комплектующих изделий для одного из видов ЭВМ, но среди них оказалось четыре ящика комплектующих для другого вида ЭВМ. Наудачу взяли шесть ящиков. Найти вероятность того, что в одном из этих шести ящиков окажутся некомплектные детали.

17. В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а 10 — на заводе В. Случай­ным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что две из них изготовлены на заводе А.

18. В коробке находится шесть одинаковых по форме и близких по диаметру сверл. Случайным образом сверла извлекаются из коробки. Какова вероятность того, что сверла извлекутся в порядке возрастания их диаметра?

19. На трех карточках помещены буквы «Г», «О», «Д». Карточки перемешаны и случайным образом подкладываются одна к другой. Какова вероятность, что получится слово «ГОД».

20. На пяти карточках напечатана одна из следующих букв: п,о,р,т,с. Вынимая последовательно из ящика карточки наугад и выкладывая их в одну линию, можно получить слово «СПОРТ». Какова вероятность этого события?

21. На шести карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. После перемешивания вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают по порядку. Найти вероятность того, что при этом получится слово «МОСКВА».

22. Дано 5 карточек с буквами К, М, Р, О, Я. Найти вероятность того, что:

а) наугад выбранные и разложенные в ряд одна за другой три карточки образуют слово РОМ;

б) при случайном расположении в ряд всех пяти карточек получится слово МОРЯК.

23. Некто забыл последние две цифры телефонного номера, но помнит, что они нечетные и различные. Какова вероятность того, что он сразу наберет нужный номер, если будет набирать эти цифры случайно?

24. Пин код банковской карточки состоит из четырех цифр. Некто забыл пин код, но помнит, что все цифры разные. Какова вероятность, не зная кода, набрать код правильно с первой попытки?

25. Пин код банковской карточки состоит из четырех цифр. Некто забыл пин код, но помнит, что все цифры одинаковые. Какова вероятность, не зная кода, набрать код правильно с первой попытки?

26. Пин код банковской карточки состоит из четырех цифр. Некто забыл пин код, но помнит, что код содержит три одинаковые цифры. Какова вероятность, не зная кода, набрать код правильно с первой попытки?

27. Пин код банковской карточки состоит из четырех цифр. Некто забыл пин код, но помнит, что код содержит две пары одинаковых цифр. Какова вероятность, не зная кода, набрать код правильно с первой попытки?

28. Брошены два кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет не менее 10.

29. Игрок бросает два кубика. Если выпадает равное число очков, он получает выигыш. Какова вероятность получить выигрыш? Решить эту же задачу для трех кубиков.

30. На первом этаже в лифт вошло 7 человек. В доме 10 этажей. Найти вероятности событий:

А) все выйдут на разных этажах

Б) все выйдут на одном этаже

В) все выйдут на последнем этаже