С учетом (3.6) формулу (3.2) можно записать в виде плоской волны
, (3.10)
соответствующей частице, имеющей импульс 
и энергию 
.
Фазовая скорость волны де Бройля частицы, масса которой 
, свободно движущейся со скоростью 
,
, (3.11)
где 
– энергия частицы, 
– круговая частота; 
– импульс, 
- волновое число.
Групповая скорость волнового поля частицы
. (3.12)
В классической механике состояние частицы в каждый момент времени характеризуется ее положением в пространстве (то есть координатами) и импульсом. Мгновенное состояние микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, нельзя характеризовать точными значениями координат и импульса. Для решения вопроса о локализации частицы, движущейся в потенциальном поле, функцию ее состояния можно представить волновым пакетом. Если при движении частицы вдоль оси OX длина волнового пакета равна 
, то волновые числа 
, необходимые для его образования, не могут занимать сколь угодно узкий интервал 
. Минимальная ширина интервала должна удовлетворять соотношению
или, после умножения на 
,
. (3.13)
Аналогичные соотношения выполняются и для волновых пакетов, распространяющихся вдоль осей OY и OZ:
(3.14)
Соотношения (3.13), (3.14) называют соотношениями неопределенностей Гейзенберга (или принципом неопределенности). В соответствии с этим фундаментальным положением квантовой теории любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения.
Ввиду малости 
по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности действия соотношения неопределенностей существенны в основном для явлений атомных и меньших масштабов и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.
Несколько иной смысл имеет соотношение неопределенностей для энергии и времени 
:
. (3.15)
Если система находится в стационарном состоянии, то из соотношения неопределенностей следует, что энергию системы даже в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей 
, где 
– длительность процесса измерения. Соотношение (3.15) справедливо также, если 
трактовать как неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а 
- как характерное время, в течение которого существенно изменяются средние значения физических величин в этой системе.
Возбужденные состояния атомов, молекул, ядер нестабильны. Из соотношения неопределенностей (3.15) вытекает, что энергия этих микрообъектов в возбужденных состояниях не может быть строго определенной, то есть возбужденные энергетические уровни обладают некоторой естественной шириной 
, где – время жизни возбужденного состояния.
Из соотношений неопределенностей следует вывод о том, что в квантовой механике теряет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную, так как они выражаются через величины (соответственно через импульсы и координаты), которые не могут одновременно иметь определенные (точные) значения. Энергия должна определяться и измеряться лишь как полная энергия, без деления на кинетическую и потенциальную.
Вопросы для самоконтроля
1 Сущность гипотезы де Бройля.
2 Как определяются фазовая и групповая скорости волны де Бройля и её длина волны?
3 Какова физическая интерпретация волн де Бройля?
4 Что выражают соотношения неопределенности?
5 Каковы экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля?
Задачи
1Найдите длину волны де Бройля электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
2С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля 
электрона равна его комптоновской длине волны 
?
3Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле, индукция которого В = 8 мТл. Определите длину волны де Бройля электрона. Как изменится ответ, если электрон заменить протоном?
4Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оцените минимальные линейные размеры атома.
5Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов 
= 0,5 кВ. Принимая, что неопределенность импульса равна 0,1 % от его числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Являются ли в данных условиях электроны квантовой или классической частицей?
6Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определите естественную ширину 
спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время 
жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а длину волны 
излучения – равной 600 нм.
7Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматическими волнами: 
, 
.Определите фазовые скорости каждой волны и групповую скорость волнового «пакета».
8Определите длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость = 1 Мм/с. Сделайте такой же расчет для протона.
9Определите длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.
10Определите импульс и энергию: 1) рентгеновского кванта; 2) электрона, если длина волны каждого из них равна 10-10 м.
11Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К.
12Один из способов монохроматизации медленных нейтронов состоит в следующем. В цилиндре радиуса 
= 10 см и длина 
= 1,0 м делают винтовой паз шириной 
= 1 см с поворотом на угол 
= 30° (рисунок 3.2). Цилиндр вращается с частотой 
= 3000 мин-1. Определите длину волны нейтронов, проходящих через описанный монохроматор, и оцените степень монохроматизации. Пучок нейтронов падает на цилиндр параллельно его оси.
 |
13Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 500 В, имеет длину волны де Бройля 1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу.
14На какой высоте Н надо поместить поглотитель относительно источника для обнаружения красного смещения общей теории относительности? Используется эффект Мёссбауэра на изотопе 
. Время жизни возбужденного уровня с энергией Е = 93 кэВ равно 
= 10-5 с. Считайте, что для достижения необходимой точности эффект смещения должен превышать ширину Г линии резонансного поглощения в 10 раз.
15Параллельный пучок атомов, находящихся в одинаковом возбужденном состоянии, движется вдоль оси вакуумной трубки со скоростью = 108 м/с. В стенках сделаны окошки для регистрации излучения атомов в зависимости от пути, пройденного пучком в трубке.
Результаты измерений изображены на рисунке 3.3. (По оси абсцисс отложено расстояние, пройденное пучком вдоль трубки, отсчитанное от первого окошка, а по оси ординат – натуральный логарифм отношения интенсивности света 
к интенсивности света, измеренной детектором, расположенным в первом окошке.) Определите естественную ширину линии, которая соответствует излучению атомов пучка.
 |
16В опыте Девиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки – монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол 55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов Т = 180 эВ. Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.
17Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемых в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом кристаллической решетки d = 0,15 нм. Определите скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения равен 30°.
18Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определите линейное расстояние x между положениями минимумов первого порядка.
19Ширина следа электрона (кинетическая энергия его 1,5 кэВ), полученного на фотопластинке с применением камеры Вильсона, составляет 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.
20Определите отношение неопределенностей скорости электрона, координата которого установлена с точностью до 10-5 м, и пылинки массой 10-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.
21Электронный пучок выходит из электронной пушки, ускоренный разностью потенциалов 200 В. Определите, можно ли одновременно измерить параметры траектории электрона с точностью до 100 пм (с точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10 %.
22Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определите (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого электрона.
23Покажите, используя соотношения неопределенностей, что в ядре атома не могут находиться электроны.
24Оцените относительную ширину 
спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии ( 
с) и длина волны излучаемого фотона ( = 0,6 мкм).
25Оцените кинетическую энергию нуклона в ядре атома углерода. Диаметр ядра равен приблизительно 
м.
26Кажется, что путем измерения отдачи зеркал интерферометра Майкельсона можно определить, будет ли фотон, связанный с волновым цугом, отражаться от одного или другого из них. Используя соотношения неопределенностей, покажите, что такое измерение невозможно.
27Исходя из соотношения неопределенностей между импульсом частицы и соответствующей координатой, оцените энергию атома водорода в основном состоянии.