Симметричные и несимметричные двойственные задачи.

Различают симметричные, несимметричные и смешанные двойственные задачи.

Симметричные двойственные задачи.

В симметричных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

Дана исходная задача.

при ограничениях

Задача дана в неканоническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи, согласно записанным правилам:

при ограничениях

,

Несимметричные двойственные задачи.

В несимметричных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а система ограничений двойственной в виде неравенств, причем если в целевой функции двойственной задачи требуется найти минимум, то знак неравенств ≥, если максимум, то ≤. Кроме того, в двойственной задаче переменные могут принимать любое значение, в том числе и отрицательные.

Дана исходная задача.

при ограничениях

Задача дана в неканоническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи, согласно записанным правилам:

при ограничениях

,

Смешанные двойственные задачи.

Математическая модель исходной задачи имеет условия симметричных и несимметричных задач. При составлении двойственной задачи необходимо выполнять правила симметричных и несимметричных задач.

Зная решение одной из двойственных зада можно найти решение другой задачи.

Теорема. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений и выполняется неравенство

Если одна из двойственных задач неразрешима ввиду того, что (или ), то другая задача не имеет допустимых решений.