Алфавит ЯКЛВ (перечень исходных символов)

Введение в формальную логику

 

Учебное пособие

 

Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы

 

Глава 3

 

Классическая логика высказываний

 

В этой главе изучаются структуры предложений с точностью до простых предложений, т.е. внутренняя структура простых предложений не рассматривается и параметры вводятся только для простых предложений. Учитываются только способы соединения простых предложений. Представление структур предложений необходимо для решения, как минимум, двух задач.

Во-первых, логические формы предложений будут специфицированы: среди всех возможных структур предложений будут выделены те, которые порождают только истинные предложения (законы логики), те, которым соответствуют только ложные, и те, которым соответствуют как истинные, так и ложные предложения.

Второе применение структур предложений связано с изучением элементарного логического действия – шага вывода. Для того чтобы определить, является ли умозаключение логически правильным (следует ли из информации посылок информация заключения), необходимо проанализировать его структуру, а для этого надо представить структуры (предложений-) посылок и (предложения-)заключения.

 

Тема 1: Язык классической логики высказываний (ЯКЛВ)

Основные понятия, которые необходимо усвоить: · формализованные языки (их основные отличия от естественных языков) · логические и нелогические символы ЯКЛВ · правильно построенное (осмысленное) выражение теории КЛВ (формула ЯКЛВ) · местность логических связок · подформула · главный знак формулы · нагруженное дерево формулы · объектный язык и метаязык

Определения и примеры

 

Структуры языковых выражений формализованных языков могут строиться только из символов, перечисляемых в алфавите, в частности это относится и к языку первой из изучаемых здесь логических теорий. Исходные символы языка КЛВ делятся на три группы: те, которые несут логическую информацию; те, которым соответствует нелогическая информация; наконец, вспомогательные символы, указывающие на порядок построения выражения.

 

Алфавит ЯКЛВ (перечень исходных символов)

1. Нелогические символы:

p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ … (и т.д.), –

называются пропозициональные (или высказывательные) переменные[2].

2. Логические символы:

Ø, &, Ú, É, º, ^, Т.

3. Технические символы: левая и правая скобки – ( , ).

 

Еще раз: из этих символов (и только из них) строятся в логике высказываний структуры предложений естественного языка.

Логические символы (за исключением двух) вводились как аналоги некоторых выражений естественного языка. В нижеследующей таблице, дающей краткое предварительное ознакомление с введенными логическими символами, в скобках указаны другие распространенные способы обозначений соответствующих связок (но не все).

 

символ	название	приблизительное соответствие в естественном языке
Ø (~, ¯)	отрицание	"неверно что", "ложно", "не имеет места"
& (Ù)	конъюнкция	соединительное "и", союзы "а", "но", выражения "а также", "как … так и…"
Ú	дизъюнкция	"или", "либо"
É (Þ,®)	импликация	отношение следования, условная связь "если … то…"
º (Û,«)	эквиваленция	"если и только если", "тогда и только тогда когда", "эквивалентно", "равносильно"
^ (0)	константа лжи	нет соответствий
Т (1)	константа истины	нет соответствий

 

Хотя константам истины и лжи ничего не соответствует в естественном языке (нет предложений такой структуры), их введение имеет ряд достоинств.

 

Формула ЯКЛВ (структура предложения естественного языка):

1. всякая пропозициональная переменная (p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ …) является формулой;

2. символы ^, Т являются формулами;

3. если последовательность символов А является формулой, то последовательность символов ØА также есть формула;

4. если последовательности символов А и В являются формулами, тогда следующие последовательности символов также формулы: (А&В), (АÚВ), (АÉВ), (АºВ);

5. формулой является только последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.