Задача № 4.

4.1. В ящик, содержащий три детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей первоначально находившихся в ящике.

4.2. Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной, остальные детали первого сорта. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали, если она оказалась первого сорта.

4.3. В первой коробке содержатся 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

4.4. Две из трех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй и третьей ламп соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3.

4.5. Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом № 1 и три коробки, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1стандартна, равна 0,9, а заводом № 2– 0,7. Из наудачу взятой коробки сборщик извлек деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

4.6. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ящике 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

4.7. В автобусе едут 10 пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью 0,8 кроме того, в автобусе с вероятностью 0,7 не входит ни один новый пассажир, с вероятностью 0,3 входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет по-прежнему 10 пассажиров. (Предполагается, что более одного пассажира войти не может).

4.8. По линии связи передаются два сигнала A и B соответственно с вероятностями 0,84 и 0,16. Из-за помех 1/6 сигналов A искажается и принимается как B - сигналы, а 1/8 часть переданных B - сигналов принимается как A - сигналы. Известно, что принят сигнал A. Какова вероятность, что он же и был передан?

4.9. Три торпедных катера атакуют авианосец. Каждый катер выпускает по одной торпеде. Вероятность попадания торпеды в авианосец равна 0,7. Потопление авианосца при попадании трех торпед происходит с вероятностью 0,9, двух торпед - с вероятностью 0,6 и одной торпеды - с вероятностью 0,2. Определить вероятность потопления корабля.

4.10. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?

4.11. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 0,1 % бракованных, со второго - 0,2 %, с третьего - 0,25 %, с четвертого - 0,5 %. Производительности их относятся как 4 : 3 : 2 : 1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом; втором; третьем; четвертом автоматах. Как проверить правильность вычислений?

4.12. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: у двух лыжников 0,9, велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, названный наудачу, выполнит норму.

4.13. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали. Первая линия дает 70 %, вторая - 20% и третья - 10% всей продукции. Вероятности получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны 0,02; 0,01; 0,05. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь была изготовлена на первой линии.

4.14. Из полного набора костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно будет приставить к первой.

4.15. Имеется 4 партии деталей. В первой партии – 3 % брака, во второй – 4 %, в третьей и четвертой брака нет. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь принадлежит первой партии, если она оказалась бракованной?

4.16. При разрыве снаряда образуется 10 % крупных осколков, 60 % средних и 30 % мелких. Вероятность пробивания брони крупным осколком равна 0,7, средним - 0,2 и мелким - 0,05. Известно, что в броню попал один осколок. Определить вероятность того, что броня пробита.

4.17. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 30 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

4.18. По самолету производятся три независимых выстрела снарядами со взрывателями ударного действия. Вероятность попадания в самолет равна 0,6. При одном попадании самолет поражается с вероятностью 0,4; при двух – 0,7 и при трех - с вероятностью 0,9. Определить вероятность поражения самолета.

4.19. Из урны, в которой было 9 белых шаров и 7 черных, потеряли шар неизвестного цвета. Для того, чтобы определить состав шаров в урне, из нее наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потерян белый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.

4.20. Имеются две урны первой группы, три урны второй группы и пять урн третьей группы. Урны внешне не отличаются одна от другой. В каждой урне первой группы имеется 1 белый и 4 черных шара, в каждой урне второй группы - 5 белых и 3 черных шара, в урне третьей группы - 6 белых и 9 черных шаров. Наугад берут одну из урн и из нее вынимают шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым? Если шар белый, то какова вероятность, что он вынут из урны первой группы.

4.21. Производится 5 независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью 0,7. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью 0,4, если два снаряда - с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах горючее воспламенится.

4.22. Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на заводе № 1, 250 на заводе № 2 и 150 на заводе № 3. Известны также вероятности 0,97; 0,91; 0,93 того, что лампочка окажется стандартного качества при изготовлении ее соответственно заводами № 1, № 2, № 3. Какова вероятность, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?

4.23. Имеются 10 урн с шарами: три урны содержат каждая 15 белых, 5 черных и 10 красных шаров; две урны содержат по 10 белых, 5 черных и 5 красных шаров и пять урн - по 12 белых, 5 черных и 3 красных шара. Производится извлечение одного шара. Определить вероятность того, что шар был извлечен из первых трех урн, если он оказался белым.

4.24. Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых семь пристрелянных и 3 непристрелянных. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки составляет 0,8, а из непристрелянной (при тех же условиях) - 0,4. Какова вероятность того, что стрелок, взяв наудачу винтовку и сделав из нее один выстрел, попадает в цель?

4.25. Два орудия открыли стрельбу по наступающему танку. Стрельба ведется поочередно, с темпом 10 секунд выстрел. Вероятность попадания в танк при открытии огня из первого орудия равна 0,4, из второго - 0,5. За каждые 10 секунд вероятность попадания увеличивается на 0,05. После трех выстрелов обнаружено, что танк получил одну пробоину, но неизвестно при каком выстреле. Какова вероятность того, что первым открыло огонь первое орудие?

4.26. Стрелок A поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью P₁ = 0,6, стрелок B - с вероятностью P₂ = 0,5 и стрелокC- с вероятностью P₃ = 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал C в мишень или нет?

4.27. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки без оптического прицела, равна 0,7, для винтовки с оптическим прицелом эта вероятность равна 0,96. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет выстрел из наудачу взятой винтовки.

4.28. Первое орудие 4-х орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания равна 0,3, остальным трем орудиям соответствует вероятность попадания 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чего цель была поражена. Какова вероятность того, что первое орудие отстреляло?

4.29. Стрельба производится по пяти мишеням типа A, трем - типа B и двум -типа C. Вероятность попадания в мишень типа A равна 0,4, типа B - 0,1,

типа C - 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа будет сделан выстрел.

4.30. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникает сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.