Тройной интеграл.
Пусть функция 
непрерывна в ограниченной замкнутой пространственной области 
. Если область имеет вид 
, где функции 
, 
- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке 
, функции 
, 
- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением в области 
, являющейся проекцией области на плоскость 
, то выражение 
называется повторным интегралом от функции по области . Аналогично вводятся другие повторные интегралы.
В повторных интегралах от функции последовательно вычисляются простые (однократные) интегралы, причём интегрирование производится по внутренней переменной, а внешние переменные считаются постоянными. В результате последовательных интегрирований получим число.
В задачах 10.81-10.88вычислить повторные интегралы:
10.81 
. 10.82 
.
10.83 
. 10.84 
.
10.85 
. 10.86 
.
10.87 
. 10.88 
.
Тройным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой пространственной области называется число 
, где 
, 
, 
и суммирование ведётся по тем значениям 
, 
и 
, для которых 
.
Замкнутую область 
, где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением в области , являющейся проекцией области на плоскость , будем называть элементарной в направлении оси 
и обозначать 
. Аналогично вводятся элементарные области в направлении других координатных осей.
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного двойного интеграла и одного простого (однократного) или к вычислению трёх простых интегралов.
Тройной интеграл по области 
вычисляется по формуле
.
Если область 
- элементарная в направлении оси 
, т.е. имеет вид 
, где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , то применяют формулу
.
Если область - элементарная в направлении оси 
, т.е. имеет вид 
, где функции 
, 
- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке 
, то применяют формулу
.
Если не является элементарной, то её представляют в виде объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей 
, каждая из которых является элементарной в направлении той или другой координатной оси. Разбиение зависит от желаемого порядка расстановки пределов интегрирования. Тогда в силу аддитивности тройного интеграла 
.
В задачах 10.89-10.94вычислить тройные интегралы по областям 
, ограниченными указанными поверхностями:
10.89 
, 
. 
, 
, 
, 
.
10.90 
, 
. , 
, , 
.
10.91 
, 
. , .
10.92 
, 
.
10.93 
, , 
, 
, .
10.94 
, , 
, 
, .
При переходе в тройном интеграле от прямоугольных координат 
к цилиндрическим координатам 
, связанным с прямоугольными координатами соотношениями 
, 
, 
, имеет место формула
,
где 
-область интегрирования в пространстве переменных 
, 
и 
.
Если область имеет вид 
, то применяют формулу
.
При переходе в тройном интеграле от прямоугольных координат к сферическим координатам 
( 
-долгота, 
-широта) связанным с прямоугольными координатами соотношениями 
, 
, 
, имеет место формула
,
где -область интегрирования в пространстве переменных , 
и .
Если область имеет вид 
, то применяют формулу 
, где 
.
В задачах 10.95-10.98в тройном интеграле 
перейти к цилиндрическим координатам 
, и расставить пределы интегрирования:
10.95 
.
10.96 
.
10.97 
.
10.98 
.
В задачах 10.99-10.102в тройном интеграле перейти к сферическим координатам 
, и расставить пределы интегрирования:
10.99 
.
10.100 
.
10.101 
.
10.102 
.
В задачах 10.103-10.108перейти к цилиндрическим координатам и вычислить следующие тройные интегралы:
10.103 
, , 
, .
10.104 
, .
10.105 
, .
10.106 
, , .
10.107 
, , 
.
10.108 
В задачах 10.109-10.112перейти к сферическим координатам и вычислить следующие тройные интегралы:
10.109 
.
10.110 
.
10.111 
10.112 
.
§4. Некоторые приложения тройного интеграла.
Объём υ тела вычисляется по формуле υ 
.
Среднее значение непрерывной функции в пространственной области вычисляется по формуле 
.
Если - область пространства 
, занятого телом, и 
- плотность тела, то статические моменты тела относительно координатных плоскостей 
, 
и 
, моменты инерции тела относительно координатных осей 
, 
и 
, моменты инерции тела относительно координатных плоскостей 
, 
и 
, масса 
тела, координаты 
, 
, 
центра масс 
тела вычисляются по формулам :
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Если тело однородное, то полагают 
.
В задачах 10.113-10.116найти объём тела , ограниченного указанными поверхностями:
10.113 
, 
, , 
.
10.114 , 
, , 
, .
10.115 
, , 
, 
, .
10.116 , 
.
В задачах 10.117-10.120перейти к цилиндрическим координатам и найти объём тела , ограниченного поверхностями:
10.117 
, 
.
10.118 
, 
.
10.119 
, 
.
10.120 
, 
.
В задачах 10.121-10.122перейти к сферическим координатам и найти объём тела , ограниченного поверхностями:
10.121 
, 
, 
,
.
10.122 
, 
.
10.123Найти среднее значение функции 
в области :
а) 
;
б) 
.
В задачах 10.124-10.127найти массу тела плотности 
, ограниченного поверхностями:
10.124 , 
, 
, 
.
10.125 , , 
.
10.126 , 
, 
.
10.127 
, 
, , .
10.128Найти массу куба с ребром 
, если его плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки до одной из вершин куба.
10.129Найти массу прямого кругового цилиндра, высота которого равна 
, а радиус основания 
, если его плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.
10.130Найти массу и среднюю плотность сферического слоя между поверхностями 
и 
, если его плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от точки до начала координат, а наибольшее значение плотности 
.
В задачах 10.131-10.134найти координаты центра масс однородного тела плотности , ограниченного поверхностями:
10.131 
, .
10.132 
, 
, 
.
10.133 , , 
, .
10.134 , 
, .
В задачах 10.135-10.137найти момент инерции относительно указанной оси однородного тела плотности , ограниченного следующими поверхностями:
10.135 
, , 
, 
относительно 
.
10.136 
, 
, , 
, 
, 
относительно .
10.137 
, относительно 
.
В задачах 10.138-10.140найти момент инерции относительно указанной плоскости однородного тела плотности , ограниченного следующими поверхностями:
10.138 
, относительно .
10.139 , , , относительно 
.
10.140 
, 
относительно 
.
10.141Найти момент инерции однородного сегмента параболоида вращения плотности 
с радиусом основания и высотой относительно его оси вращения.
10.142Найти момент инерции однородного кругового конуса плотности с радиусом основания и высотой относительно его оси.