Построение эпюр внутренних силовых факторов
Определение опорных реакций. Составляем три уравнения статики (рис.33a):
S Fx =0: –HA–F–q·3=0; –HA–8– 4·3=0; HA =–20 кН.
S MA =0: –F·1+m +q·3·1, 5+RB·4=0; –8·1+ 10 + 4·3·1, 5 + RB·4=0;
20 + RB·4=0; RB = .
S MB=0: –F·4+m –HA·3–RA ·4–q·3·1, 5=0; –8·4+ 10 – (–20) ·3–RA ·4–4·3·1,5=0; 20 –RA ·4=0; RA = 5 кН.
Проверка S Fz =0? RA + RB =5 +(-5)= 0.
Рис.33. Схема рамы и грузовая эпюра MP
Значения изгибающих моментов.
Участок AC: ;
Участок BD: ;
Поскольку участки CD и CE вертикальные разворачиваем раму на 900 по ходу часовой стрелки.
Участок CD: ;
Участок CE: ;
Строим эпюру изгибающих моментов, на участке CD это парабола, выпуклая влево, а на остальных участках– наклонные прямые( рис.33б).
Рис.34. Положительные направления внутренних силовых факторов |
Проверим равновесие узлов. Узлом в раме называется точка соединения вертикальных и горизонтальных участков. В нашем примере это узел Dи узел C (рис. 33а).
Положительные направления внутренних силовых факторов для узла в виде креста показаны на рис.34.
Вырежем узел D и проверим его равновесие. При подходе к узлу справа изгибающий момент , а при подходе к узлу снизу (рис.33b).
Рис.35.Наравления изгибающих моментов |
С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления внутренних моментов приложенных в окрестности узла D (рис.35а). Очевидно, что сумма моментов относительно точки D будет равна нулю, т.е. условие равновесия узла D по моментам выполняется.
Вырежем узел C и проверим его равновесие. При подходе к узлу сверху изгибающий момент , при подходе к узлу снизу , а при подходе к узлу слева (рис.33б). С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления внутренних моментов приложенных в окрестности узла С и не забываем внешний сосредоточенный момент m=10кНм (рис.35б). А теперь составляем уравнение статики:
S MC=0: 8–10 –8+10=18 – 18=0; которое показывает, что условие равновесия узла C по моментам выполняется.
Переходим к определению значений поперечной силы.
Участок AC: l = 2м; q = 0; = 0; = 10 кНм.
Участок BD: l = 2м; q = 0; = – 10 кНм; =0.
Поскольку участки CD и CE вертикальные разворачиваем раму на 900 по ходу часовой стрелки.
Участок CD: l = 3м; q = – 4кН/м (нагрузка направлена вверх);
=8 кНм; = – 10 кНм.
Q(0) =4кН; Q(3) =4·3 –12= 0.
Участок CE: l = 1м; q = 0; = 0; = 8 кНм.
Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.36а).
Переходим к определению продольных сил в раме. Значения продольных сил на участках определим из условий равновесия узлов С и D, начиная с узла к которому подходят два стержня.
Рис.36. Эпюры поперечных и продольных сил в раме
Вырезаем узел D. При подходе к узлу справа поперечная сила , а при подходе к узлу снизу (рис.36a).
С учетом правила знаков (рис.34) , показываем истинные направления поперечных сил, приложенных в окрестности узла D и положительные направления продольных сил (рис.37а). Рис.37. Определение продольных сил
Составляем два уравнения статики:
S Fx =0: NBD–0=0; NBD=0; S Fz =0: – NCD–5=0; NCD = –5 кН.
Вырезаем узел C . При подходе к узлу сверху поперечная сила , при подходе к узлу снизу , а при подходе к узлу слева С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления поперечных сил, приложенных в окрестности узла С и положительные направления продольных сил (рис.37б). А теперь составляем два уравнения статики: S Fx =0: –NAC– 8– 12=0; NAC= – 20 кН;
S Fz =0: NCD– NCE+5=0; – 5– NCE+5=0; NCD = 0.
Используя полученные значения, строим эпюру продольных сил (рис.36б).
Для окончательной проверки срезаем опоры A и B, их действие заменяем значениями поперечных, продольных сил и изгибающих моментов, используя соответствующие эпюры (рис.33б и рис.36). В окрестности опоры A: M=0;
Рис.38. Проверка равновесия рамы |
Q=5 кН; N= –20 кН.
В окрестности опоры B: M=0; Q=5 кН; N= 0.
С учетом правила знаков (рис.34), показываем истинные направления этих силовых факторов (рис.38). Для проверки равновесия рамы составляем три у равнения статики:
S Fx =0? 20–F–q·3 = 20–8–4·3= 20–20=0;
S Fz=0? 5–5=0;
S MC =0? –5·2–F·1+m +q·3·1, 5–5·2=0; –10–8·1+10+4·3·1, 5–10=28–28=0.
Эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов построены правильно.