Интерференция волн. Когерентность. Стоячие волны. Фронт волны. Луч.

При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.

Рассмотрим практически важный случай, когда две гармо­нические волны с одинаковыми частотой ω и амплитудой рас­пространяются в противоположных направлениях оси х :

Чтобы не усложнять формулы, начала отсчета времени и коор­динаты выбраны так, чтобы начальные фазы для обеих волн были рав­ны нулю.

Суперпозиция этих волн дает:

где A= . (3.2.26)

Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т.е. ω, а амплитуда равна (Acoskx) и, в отличие от бегущей гар­монической волны, зави сит от x. В точках, где |coskx| = l, мы имеем максимумы — пучности, а где coskx = 0 —

минимумы — узлы. Период |coskx| равен π, поэтому kΔx = π и Δх = π/k = λ/2. Т. е. интервалы между соседними пучностями или узлами равны Рис.3.2.4.

половине длины волны (см. рисунок 3.2.4,где показаны крайние смеще­ния ξ через половину периода).

Между двумя соседними узлами все точки среды колеблют­ся синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на π, т. е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуво­лны) происходят в противофазе. Узлы смещения как бы разде­ляют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движе­ния из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого рас­пространения возмущения вдоль оси х. Именно поэтому возму­щения, описываемые формулой (3.2.26), и называют стоячей волной.

Энергия стоячей волны.

Переходя к распределению энергии в стоячей волне, определим сначала с помощью (3.2.26) выраже­ние для скорости частиц среды и ее относительной деформа­ции ε = dξ/dx:

(3.2.27)

Видно, что обе величины, и ε, тоже стоячие волны, причем они сдвинуты относительно друг друга по фазе на π/2 — как в пространстве, так и во времени. Кроме того, узлы и пучности скорости частиц среды совпадают с узлами и пучностями их смещения ξ. Узлы же и пучности деформации ε совпадают со­ответственно с пучностями и узлами смещения. Это показано на рисунке для моментов t = 0 и t = Т/4, здесь узлы смещения отмечены жирными точками. В момент t = 0, когда ξ и ε ста­новятся максимальными, скорость обращается Рис.3.2.5.

в нуль, и на­оборот (t = T/4).

Соответственно происходят превращения энергии стоячей вол­ны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в ки­нетическую (аналогичное происходит при колебаниях маятника). На рис. 3.2.6 показано распределение плотности энергии в моменты t = 0 и t = T/4. В процессе колебаний происходит перетекание энергии от каждого узла к соседним с ним Рис.3.2.6.

пучностям и обратно. Средний же по времени поток

энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю. Интерференция - это явление наложения двух или нескольких волн, при котором результирующая интенсивность не равна сумме интенсивностей складываемых волн. Интерферировать могут волны любой физической природы. Мы рассмотрим это явление на примере электромагнитных волн.

Пусть в некоторую точку пространства приходят две плоские электромагнитные волны

= cos( t─ + ),

cos ( t─ + ). (3.6.1) Они возбуждают в этой точке колебания напряженности электрического поля

= cos( t + ),

= cos( t + ), (3.6.2) где и - соответствующие начальные фазы. Результирующая напряженность, в соответствии с принципом суперпозиции,

= + .

Интенсивность волны пропорциональна среднему по времени квадрату напряженности электрического поля:

I ~ < > = < ( + ) > = < > + < > + 2 < ( · )> (3.6.3)

Здесь усреднение проводится за время наблюдения. Фактически всякий прибор, с помощью которого наблюдают интерференционную картину, обладает некоторой инерционностью, т.е. регистрирует не мгновенную картину, а усредненную за промежуток времени t, необходимый для «срабатывания» прибора. Это и есть время усреднения в (3.6.3).

Первые два слагаемых в правой части (3.6.3) определяют (с учетом коэффициента пропорциональности) интенсивности волн I и I . Интерференция будет наблюдаться, если третье слагаемое будет отличаться от нуля. Для этого вектора и не должны быть взаимно перпендикулярны. В дальнейшем будем полагать, что и параллельны. Рассмотрим идеализированный случай монохроматических плоских волн, т.е. амплитуды, частоты и волновые векторы ( ) будем полагать константами, причем

= = , | | = | | = k.

Однако параллельность векторов и еще не гарантирует отличие от нуля последнего слагаемого в (3.6.3). Для выполнения этого условия необходимо, чтобы модуль амплитуды результирующего колебания в данной точке не менялся за время наблюдения. Это возможно лишь в случае, если разность фаз складываемых в этой точке колебаний ( = — ) не зависит от времени. Рис.3.6.1.

 

Условия максимума и минимума интерференции.

Модуль амплитуды результирующего колебания Е в случае параллельности складываемых колебаний можно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 3.6.1)

Е = Е + Е + 2 Е Е cos ( — ) . (3.6.4)

Тогда результирующая интенсивность

I = I + I + 2 <cos ( — ) >. (3.6.5)

В реальных источниках излучателями являются отдельные атомы, не связанные друг с другом ( и меняются независимо). Поэтому разность фаз ( — ) непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, так что среднее по времени значение <cos( ─ )> равно нулю.

Тогда суммарная интенсивность равна сумме интенсивностей складываемых волн – интерференция отсутствует.

Если же добиться, чтобы разность фаз в каждой точке пространства оставалась неизменной с течением времени, то значение интенсивности в разных точках пространства будет отличным от суммы интенсивностей складываемых волн и различным в разных точках в зависимости от величины cos ( — ). В частности, при cos ( — ) = 1 интенсивность будет принимать максимальное значение:

I =I +I +2 = . (3.6.6) Как нетрудно видеть, такая интенсивность будет осуществляться при

= — =2m , (3.6.7) где целое число m = 0, 1, 2, …называется порядком максимума интерференции. Если cos ( — ) = —1, интенсивность будет минимальна:

. (3.6.8) Такая интенсивность наблюдается в точках, где

= ─ = ( 2m + 1) . (3.6.9) Условия (3.6.7) и (3.6.9) называют условиями соответственно максимума и минимума интерференции.

Волны, в которых вектора образуют угол не равный /2 и разность фаз колебаний в каждой точке не меняется с течением времени, называются когерентными. Интерференционную картину могут дать только такие волны.

Фаза колебаний, возбуждаемых волной в некоторой точке пространства, зависит от расстояния, пройденного волной (x) и показателя преломления среды, в которой она распространяется (n).Фаза волны (для плоской волны)

.

Величина s = nx называется оптическим ходом волны, а =(s –s )─ оптической разностью хода волн. Разность фаз колебаний в данной точке, которую будем в дальнейшем обозначать и оптическая разность хода волн связаны соотношением

= , (3.6.10)

где – длина волны в вакууме, = k – волновое число в вакууме. Тогда условия возникновения максимумов и минимумов интенсивности можно записать:

I = I , если = m ; (3.6.11)

I = I , если = (2т+1) . (3.6.12)

Однако все вышеизложенное справедливо лишь для монохроматических волн. При наложении волн от двух реальных источников или даже от разных участков одного и того же протяженного источника интерференция не наблюдается. Следовательно, независимые источники некогерентны. Причиной этого является сам механизм излучения света атомами источника. Атом, получивший избыточную энергию (перешедший в возбужденное состояние), затем в течение очень короткого промежутка времени ( ≈10 с) излучает электромагнитную волну (цуг) и возвращается в нормальное (невозбужденное) состояние. Спустя некоторое время атом может вновь возбудиться и вновь излучить короткий импульс (цуг волны), причем заметим, что атомы излучают независимо друг от друга со случайными начальными фазами, беспорядочно изменяющимися от одного акта излучения к другому. Поэтому спонтанно излучающие атомы представляют собой некогерентные источники.

Для получения когерентных волн применяют метод разделения волны от одного источника на две или несколько систем волн, так чтобы в каждой из них было представлено излучение одних и тех же атомов источника. Такие волны в силу общности происхождения когерентны и могут создать интерференционную картину. Принципиально возможны два метода получения таких систем: метод деления волнового фронта (опыт Юнга, бипризма Френеля и т.д. ) и метод деления амплитуды или деление по ходу волны ( интерференция в тонких пленках). При этом чтобы новые волны были когерентны при делении волнового фронта, необходимо соблюдение некоторых условий, о которых речь пойдет далее.

Образовавшиеся после разделения вóлны во всех интерференционных схемах можно представить как бы исходящими из двух точечных источников S₁ и S₂ (действительных Рис.3.6.2.

или мнимых — это не существенно). Поэтому общий подход к интерпретации получаемых результатов будет единым, с него мы и начнем.

Рассмотрим две волны, исходящие из когерентных источников S₁ и S₂ (рис.3.6.2). Пусть волны распространяются в вакууме. В области, где эти волны перекрываются — ее называют зоной интерференции — должна возникать система чередующихся максимумов и минимумов освещенности, которую можно наблюдать на экране Э.

Разность расстояний r₂ и r₁ от источников до интересующей нас точки P D = r₂ ‑ r₁ представляет собой разность хода волн. В точках на экране, где выполняется условие (3.6.11), наблюдается максимум интенсивности, а в точках, где выполняется (3.6.12) – минимум.

В случае, когда волны от источников распространяются не в вакууме, а в среде с показателем преломления n под D следует понимать не геометрическую, а оптическую разность хода интерферирующих волн: D = n(r₂ ‑ r₁). При этом l — это по-прежнему длина волны в вакууме.

Найдем координаты точек на экране, где наблюдаются интерференционные максимумы и минимумы. В практически важных случаях расстояние от источников до экрана l много больше расстояния между ними d (угол θ мал) (см. рис.3.6.2)) и разность хода D можно записать как D =d∙sin =d·θ. А так как θ » x/l, то для максимумов, согласно (3.6.11), получим d·x /l = ml, откуда координата максимума (3.6.13)

В точке x = 0 расположен максимум, соответствующий нулевой разности хода. Для него порядок интерференции m = 0. Это центр интерференционной картины. При переходе к соседнему максимуму m меняется на единицу и x — на величину Dx, которую называют шириной интерференционной полосы. Таким образом,

или (3.6.14)

где y угол, под которым видны оба источника из центра экрана, y = d/l (см. рис.3.6.2).

Проведя аналогичные выкладки, найдем координату минимума

. (3.6.15)

Ширину интерференционной полосы можно найти и как расстояние между соседними минимумами. Соответствующий расчет даст также соотношение (3.6.14)

Из этих формул видно, что для увеличения ширины полосы следует увеличивать l, или уменьшать d, или то и другое, т. е. в конечном счете — уменьшать угловое расстояние y между источниками. Полезно иметь в виду, что размер интерференционной картины обычно не превышает 1 мм, это при расстоянии от источников до экрана порядка нескольких десятков сантиметров.

Практически для получения более яркой интерференционной картины в качестве источников S₁ и S₂ используют две щели (или изображения исходного источника – щели S), и интерференционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных данным щелям.

Найдем распределение интенсивности на экране. Рассмотрим идеализированный случай, когда источники S₁ и S₂ строго монохроматические. В интересующую нас точку экрана колебания от этих источников будут приходить практически с одинаковой амплитудой, A₁ = A₂ = A₀. Тогда, согласно (3.6.4),

(3.6.16)

где d — разность фаз. D/l. В нашем случае d = 2π d·x/ll. Имея в виду, что интенсивность I пропорциональна квадрату амплитуды A², получим

(3.6.17)

где h = πd/ll, I₀ – интенсивность в максимумах (в минимумах I = 0). Полученное идеализированное распределение интенсивности I(x) несколько отличается, естественно, от реального, которому соответствует рисунок.