Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если её график лежит под касательной (над касательной), проведённой к графику данной функции, в любой точке интервала .

Иногда выпуклость называют выпуклостью вверх, а вогнутость – выпуклостью вниз.

Если функция дважды дифференцируема на интервале и ( ) при всех , то функция является вогнутой (выпуклой) на .

Точка , принадлежащая области определения функции , называется точкой перегиба функции, если при переходе через неё меняется направление выпуклости функции. Точка при этом называется точкой перегиба графика функции.

Точка называется точкой возможного перегиба функции , если в этой точке или не существует. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то или не существует.

Достаточное условие перегиба. Пустьфункция дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.292 найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графиков данных функций:

5.281 5.282

5.283 5.284

5.285 5.286

5.287 5.288

5.289 5.290

5.291 5.292

Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки до прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности.

Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции . Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (при ), если (соответственно, ). Частным случаем наклонной асимптоты (при ) является горизонтальная асимптота.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и (соответственно, и ).