Второе слагаемое есть произведение б. м. (числителя) на ограниченную функ-

цию 1/ [B (B + β (x))] с учетом того, что B 6= 0. Следовательно, второе слага-

Емое – б. м.

Используя доказанные теоремы, рассмотренные ранее примеры и замеча-

ние 1, сделанное на лекции «Предел функции», получаем:

Lim

x→−∞

arctg x = lim

x→∞

arctg (−x) = − lim

x→∞

(arctg x) = −

π

,

Lim

x→−∞

arcctg x = lim

x→∞

arcctg (−x) = lim

x→∞

(π − arcctg x) =

= π − lim

x→∞

arcctg x = π − 0 = π,Лекция "Теоремы о пределах" 3

Lim

x→0+0

loga x = lim

x→0+0

Log1/a x

Log1/a a

= − lim

x→0+0

log1/a x = ∞, 0 < a < 1,

Lim

x→∞

loga x = lim

x→∞

Log1/a x

Log1/a a

= − lim

x→∞

log1/a x = −∞, 0 < a < 1.

Теорема 5. Если функция возрастает и ограничена сверху на проме-

Жутке S или убывает и ограничена снизу на нем, то она имеет ко-

нечный предел при x → a, где a = sup S. Если функция возрастает и

Ограничена снизу на промежутке S или убывает и ограничена сверху

на нем, то она имеет конечный предел при x → b, где b = inf S.

Доказательство приведено в Приложении1)

.

Эта теорема применима, например, к функции y = arctg x. Арктангенс воз-

растает на всей числовой оси и ограничен снизу числом −π/2, а сверху – чис-

лом π/2. Эти числа и являются, как мы видели, его пределами при, соответ-

ственно, x → −∞ и x → ∞.

Теорема 6 (о пределе сложной функции). Если существуют пределы

limx→x0 ϕ (x) = a и limu→a f (u) = A, то limx→x0

f (ϕ (x)) = A.

Доказательство приведено в Приложении2)

.

Например, limx→∞ arcctg 2x = 0, так как

Lim

x→∞

x = ∞, lim

x→∞

arcctg x = 0.

Теорема 7 (о переходе к пределу в неравенстве). Если функции f (x) и g (x)

имеют конечные пределы при x → x0 и f (x) ≤ g (x) или f (x) < g (x), то

limx→x0

f (x) ≤ limx→x0

G (x).

Доказательство приведено в Приложении3)

.

Замечание 1. Теорема остается справедливой, если B = ∞, а A = ∞ или

A ∈ R; а также, если A = −∞, а B = −∞ или B ∈ R.

Теорема 8. Если функции f (x) и h (x) имеют одинаковые конечные пре-

делы при x → x0 и f (x) ≤ g (x) ≤ h (x), то функция g (x) имеет тот же

предел при x → x0.

Доказательство приведено в Приложении4)

ВОПРОС №15

Теорема Ролля с доказательством.

Если функция y=f(x)-непрерывна на отрезке ab, дифференцируема во всех внутренних точках на ab, и f(a)=f(b), то существует хотябы одна точка c из интервала ab, такая, что f’(c)=0.

Док-во: Т.к. функция непрерывна на отрезке ab, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (m) и наибольшего (M) значения. Возможны 2 случая:

1) m=M, тогда функция f(x)-постоянна на ab и производная равна 0 на всем отрезке.

2) m≠M, пусть f(xM)=M, a f(xm)=m, т.к. f(a)=f(b), то f(xM)>f(xm), тогда либо xm, либо xM лежит внутри отрезка ab. Эту точку обозначим через с.