Второе слагаемое есть произведение б. м. (числителя) на ограниченную функ-
цию 1/ [B (B + β (x))] с учетом того, что B 6= 0. Следовательно, второе слага-
Емое – б. м.
Используя доказанные теоремы, рассмотренные ранее примеры и замеча-
ние 1, сделанное на лекции «Предел функции», получаем:
Lim
x→−∞
arctg x = lim
x→∞
arctg (−x) = − lim
x→∞
(arctg x) = −
π
,
Lim
x→−∞
arcctg x = lim
x→∞
arcctg (−x) = lim
x→∞
(π − arcctg x) =
= π − lim
x→∞
arcctg x = π − 0 = π,Лекция "Теоремы о пределах" 3
Lim
x→0+0
loga x = lim
x→0+0
Log1/a x
Log1/a a
= − lim
x→0+0
log1/a x = ∞, 0 < a < 1,
Lim
x→∞
loga x = lim
x→∞
Log1/a x
Log1/a a
= − lim
x→∞
log1/a x = −∞, 0 < a < 1.
Теорема 5. Если функция возрастает и ограничена сверху на проме-
Жутке S или убывает и ограничена снизу на нем, то она имеет ко-
нечный предел при x → a, где a = sup S. Если функция возрастает и
Ограничена снизу на промежутке S или убывает и ограничена сверху
на нем, то она имеет конечный предел при x → b, где b = inf S.
Доказательство приведено в Приложении1)
.
Эта теорема применима, например, к функции y = arctg x. Арктангенс воз-
растает на всей числовой оси и ограничен снизу числом −π/2, а сверху – чис-
лом π/2. Эти числа и являются, как мы видели, его пределами при, соответ-
ственно, x → −∞ и x → ∞.
Теорема 6 (о пределе сложной функции). Если существуют пределы
limx→x0 ϕ (x) = a и limu→a f (u) = A, то limx→x0
f (ϕ (x)) = A.
Доказательство приведено в Приложении2)
.
Например, limx→∞ arcctg 2x = 0, так как
Lim
x→∞
x = ∞, lim
x→∞
arcctg x = 0.
Теорема 7 (о переходе к пределу в неравенстве). Если функции f (x) и g (x)
имеют конечные пределы при x → x0 и f (x) ≤ g (x) или f (x) < g (x), то
limx→x0
f (x) ≤ limx→x0
G (x).
Доказательство приведено в Приложении3)
.
Замечание 1. Теорема остается справедливой, если B = ∞, а A = ∞ или
A ∈ R; а также, если A = −∞, а B = −∞ или B ∈ R.
Теорема 8. Если функции f (x) и h (x) имеют одинаковые конечные пре-
делы при x → x0 и f (x) ≤ g (x) ≤ h (x), то функция g (x) имеет тот же
предел при x → x0.
Доказательство приведено в Приложении4)
ВОПРОС №15
Теорема Ролля с доказательством.
Если функция y=f(x)-непрерывна на отрезке ab, дифференцируема во всех внутренних точках на ab, и f(a)=f(b), то существует хотябы одна точка c из интервала ab, такая, что f’(c)=0.
Док-во: Т.к. функция непрерывна на отрезке ab, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (m) и наибольшего (M) значения. Возможны 2 случая:
1) m=M, тогда функция f(x)-постоянна на ab и производная равна 0 на всем отрезке.
2) m≠M, пусть f(xM)=M, a f(xm)=m, т.к. f(a)=f(b), то f(xM)>f(xm), тогда либо xm, либо xM лежит внутри отрезка ab. Эту точку обозначим через с.