Гипергеометрический закон распределения.

Чаще встречается на практике выборка без возврата. Вероятность появления x бракованных изделий в выборке объемом n, взятой из партии объемом N, содержащей бракованных изделий , определяется по формуле:

Эта формула определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Числовыми характеристиками распределения являются: мат.ожидание и дисперсия.

Для доли бракованных изделий в выборке:

Необходимый объем выборки определяется из выражения:

;

При больших объемах партий, первое слагаемое , а множитель , т.е. гипергеометрическое распределение, переходит в биномиальное. Для определение вероятности появления брака в выборке и кумулятивной вероятности

можно использовать соотношение:

В качестве модели выборочного контроля можно применять закон распределения вероятностей Пуассона:

Закон однопараметрический, имеет числовые характеристики:

Замена этим законом биномиального распределения допустима при небольших объемах выборок. Т.е. вероятность события очень мала( ).

При больших объемах выборок законом Пуассона заменяют гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение

Пусть в урне имеется N шаров, из которых M белые, а N-M чёрные. Выберем наугад из этой урны группу из n шаров (не возвращая вынутых шаров в урну и не интересуясь порядком шаров внутри группы). Обозначим через pm,n вероятность того, что в рассматриваемой выборке будет ровно m белых шаров. Тогда можно записать

pm,n= (1)

Случайная величина m может принимать значения от 0 до n. Распределение этой величины m называется гипергеометрическим, а уравнение (1) характеризует закон этого распределения. Гипергеометрическое распределение используется в теории статистического контроля качества – оно даёт распределение доли брака в выборке из контролируемой партии.

Гипергеометрическое распределение характеризуется тремя параметрами N, M и n (величина m является случайной переменной). Удобно в качестве параметров гипергеометрического распределения рассматривать N, n и

P= , (2)

где p – вероятность того, что первый вынутый шар будет белым. При этих параметрах математическое ожидание и дисперсия случайной величины m запишутся в таком виде:

M(m)=np, (3)

2(m)=npq (1- ), (4)

где q=1-p.

Рассмотрим такой случай, когда числа n и p фиксированы, а объём N совокупности неограниченно возрастает. Тогда из уравнений (3) и (4) следует, что математическое ожидание m будет оставаться неизменным, а дисперсия будет возрастать, стремясь к пределу, равному npq. При этом гипергеометрическое распределение стремится к биномиальному. Заметим, что при n 0,1N гипергеометрическое распределение становится уже настолько близким к биномиальному, что на практике можно пренебречь различием между двумя этими распределениями.

Биномиальное распределение

Пусть в урне имеется n1 белых и n2 чёрных шаров. Вероятность извлечения из урны белого шара p= , (1)

а вероятность извлечения чёрного шара

q= . (2)

Очевидно, что имеет место соотношение

p+q=1. (3)

Проведём серию таких опытов: вынем из урны шар, запишем его цвет, положим его обратно в урну, перемешаем все шары, снова вынем шар и т.д. Возвращение шаров в урну нужно для того, чтобы вероятность извлечения белого шара (или чёрного) не изменялась от опыта к опыту.

Пусть в серии опытов мы проводим извлечение из урны n шаров. Обозначим через вероятность того, что ровно m из вынутых n шаров будут белыми (m n). Нетрудно вывести такое уравнение

pm,n= pmqn-m= pmqn-m. (4)

Число m белых шаров в серии из n опытов является случайным. Это число m может принимать следующие значения:

0; 1; 2; 3; ….; n-1, n

с соответственными вероятностями

p0,n p1,n p2,n … pn,n.

Таким образом, уравнение (4) определяет собой распределение вероятностей случайного числа m, которое называется биномиальным.

Биномиальное распределение находит применение при статистическом контроле качества, в теории стрельбы и других областях.

Из уравнения (4) следует, например, что

p0,n=qn,

pn,n=pn. (5)

Вероятность того, что в серии из n опытов ни разу не появится белый шар, будет p0,n. Вероятность того, что в серии из n опытов белый шар появится хотя бы один раз, будет очевидно, p’=1- p0,n=1- qn=1-(1-p)n. (6)

Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения запишутся в виде

M(m)=np 2(m)=npq. (8)

Если вместо случайной величины m рассматривать случайную частость

X= ,

то из уравнений (7) и (8) получим

M(x)= M(m)=p, (x)= (m)= .

Функцию распределения запишем

F(m’)=Вер{m m’}= .

Как видно из уравнений (4) и (12), функция F(m’) зависит от трёх аргументов: m’, n и p. Поэтому составление таблиц для F(m’) является громоздким. Непосредственное вычисление F(m’) по уравнениям (4) и (12)является затруднительным при достаточно больших n и m’.

Однако здесь можно воспользоваться тем, что при n биномиальное распределение стремится к нормальному. Поэтому при больших n можно приближённо определить F(m’) при помощи нормального распределения, имеющего такие же математические ожидания и дисперсию, как и биномиальное распределение.

F(m’)=F0 ( ).

Распределение Пуассона

Обозначим для краткости математическое ожидание . (1)

Рассмотрим частный случай. При m=2 получим

p2,n= . (2)

При больших n и малых p из уравнения (2) приближённо имеем p2,n= .

Действуя аналогичным образом, получаем для произвольного m . (3)

Уравнение (3) определяет собой распределение Пуассона (распределение редких событий). Этим уравнением можно пользоваться для случаев малых p, а для случая p, близких к единице, будет мало q=1-p, и тогда вместо уравнения (3) можно написать аналогичное уравнение , где b=nq=n (1-p).

Распределение Пуассона хорошо сходится с биномиальным распределением.

Распределение Пуассона имеет существенное преимущество для составления таблиц перед биномиальным распределением: в уравнение (3) входит только один параметр a=np, в то время как в уравнении 4 для биномиального распределения входят два параметра n и p.

Распределение Пуассона часто используется на практике как заменитель биномиального распределения. Кроме того, распределение Пуассона имеет самостоятельное значение. Справедливо следующее положение: если вероятность появления события в малом промежутке времени t пропорциональна t и события появляются независимо друг от друга, то число появлений события в течении данного промежутка времени распределяется по закону Пуассона. В силу этого положения распределение Пуассона широко применяется в теории надёжности и в теории массового обслуживания.

Указанное выше положение можно сформулировать в иной форме: если вероятность появления события на малой площади s пропорциональна s и события появляются независимо друг от друга, то число появлений события на данной площади распределяется по закону Пуассона.

Так, например, число осколков снаряда или ракеты, попадающих в цель, часто распределяется по закону Пуассона. В силу этого распределение Пуассона широко используется в теории стрельбы.

Для распределения Пуассона дисперсия равна математическому ожиданию:

 

.

 

 

№27 Составление документации системы менеджмента качества. Реализация проекта системы менеджмента качества. Затраты на систему менеджмента качества

Целесообразнее всего начать работу над проектом с 2-3 часовой вступительной беседы для проектной команды. Альтернативным вариантом или дополнением может быть беседа с руководством или выступление на производственном совещании.

Сначала сообщаются цели инвестиции в систему QM. Идеальным было бы использовать эту возможность для обсуждения основных принципов, и целей предприятия в области качества, чтобы все участники совещания получили о них представление.

Далее руководитель проекта или консультант разъясняют следующее:

• определение терминов;

• пользу от системы QM;

• ответственность руководителей и сотрудников во время и, в особенности, после внедрения системы QM;

• подход, принятый для внедрения системы QM;

• проект календарного плана;

• элементы менеджмента качества соответствуют и ступени требовании норм ИСО серии 9000.

Этот процесс должен быть задокументирован в качестве доказательства того, что обучение было проведено.

Следующий шаг - первое обсуждение командой организационных вопросов работы над проектом. При этом происходит распределение ответственности за соответствующие элементы QM выбранной ступени требований ИСО серии 9000. Для этого составляется таблица, в которой элементы QM упорядочены по отношению к ответственности.

На основе первичной ответственности должна быть упорядочена вторичная ответственность. На практике это означает следующее: например, за элемент QM "Закупки" первично отвечает отдел закупок, но объем и номенклатура закупок зависят от того, кто определяет потребность и даёт заявку на поставки. Таким образом, составители заявки участвуют в этом процессе и несут за это вторичную ответственность. Следовательно (и это важно прежде всего для исполнителей), для полноты и однозначности описания процесса закупок в нем должна присутствовать процедура согласования объемов и сроков поставок со всеми производственными подразделениями, подающими заявки.

Численность проектной команды определяется размерами фирмы, но, исходя из необходимости включения в описания процессов процедур взаимодействия, ее состав должен быть таким, который обеспечит охват всех подразделений предприятия.

Такая команда, ориентированная на полное и однозначное описание каждого процесса, должна положить начало улучшенной коммуникации и совершенствованию организационной структуры на предприятии.

К сожалению, это требование часто путают с должностными инструкциями. Но должностные инструкции, даже когда они правильно и полно составлены, не приносят прямой пользы с точки зрения наглядности и обеспечения стабильности процессов. Они не предусматривают многой ответственности, например, за соблюдение требований при работе с данными по качеству, которые являются неотъемлемыми элементами менеджмента качества.

На рис. 10 приведен пример формы, на основании которой 'это требование можно реализовать очень просто и компактно. При этом само упорядочивание ответственности является, естественно, результатом предварительной работы, который в формуляре представляется уже в окончательном виде.

Итак, команда создана, о целях и подходах к разработке проекта участники проинформированы, можно начинать работать.

N'       Задачи \Подразделения   Руководство Закупки Разработка конструкции   Производство   Сбыт Служба качества Подготовка Производства Тех. Обслуживание   Склад отгрузка          
  Ответственность руководства                                              
  Система QM                                              
  Анализ контракта                                              
  Управление проектированием                                              
  Управление документацией и данными                                              
  Снабжение                                              
  Управление предоставленной заказчиком продукцией                                              
  Обозначение и прослеживаемость продукции                                              
  Управление процессом                                              
  Контроль и испытания                       . ^                      
  Надзор за средствами контроля                                              
  Статус контроля                                            
  Управление несоответствующей продукцией                                              
  Корректировочные и предупредительные воздействия                                              
  Обращение с продукцией, хранение, упаковка ,консервация и отгрузка                                              
  Управление записями по качеству                                              
  Внутренние аудиты качества                                              
  Обучение                                              
  Техническое обслуживание                                              
  Статистические методы                                              

Составлено: Дата: Утверждено: Дата

0- ответственный, координация ; Х- соучастие

Рис. 10. Матрица ответственности

Процесс проектирования системы качества на предприятии должен быть тщательно спланирован. Существуют четыре фазы такого плана.

Первая фаза — обоснование проекта. Первым действием на этой фазе должна быть подготовка и представление проекта на рассмотрение руководству. Решение руководства — очень важная веха в проекте. Проект планируется в деталях, включая интенсивную информацию всего персонала с использованием различных информационных средств.

Вторая фаза — расшифровка, детализацияпроекта. Цель этой фазы — добиться ясного представления о форме и содержании всех эле­ментов системы, упорядочить составляющие этого проекта, внести стабильность в процесс. В этой фазе в основе существующих систем качества должен быть разработан (написан) макет Руководства по качеству.

Третья фаза — осуществление. На этой фазе главными действующими лицами должны быть отдельные проектные рабочие группы. Вместе с основной рабочей группой, возглавляемой директором, они создают руководства по качеству для всей фирмы и для своих подразделений. Эта фаза является наиболее трудной и из макета Руководства по качеству. Та часть Руководства, которая относится к жизненному циклу продукции, должна быть написана соответствующей рабочей группой и подогнана под конкретную продукцию. Локальные проектные группы должны заниматься так­же внесением изменений в систему качества.

Четвертая фаза — внутренний контроль. Она предусматривает использование внутрифирменного контроля результатов проекта и эффективности его осуществления.

Проводится основательный анализ состояния действующей документации, ее состава и содержания, с тем, чтобы составить из нее определенную картину. Речь идет о нахождении, идентификации, регистрации и упорядочивании документов по элементам системы QM в соответствии с требованиями выбранной нормы ИСО серии 9000 и последующем интегрировании результатов в систему QM. \

Полученная мозаика может быть достаточно многообразной в зависимости от вида и размеров предприятия, а также документов, являющихся предметом анализа, например:

• организационные схемы (органиграммы), блок-схемы;

•требования к организации рабочих мест;

• формуляры, контрольные перечни;

• маршрутная технология, операционные карты, методологические, рабочие, контрольные инструкции;

• программы ЭОД (электронной обработки данных);

• документация метрологического обеспечения;

• контрольные карты, программы испытаний, инструкции по эксплуатации и сервисному обслуживанию, бирки, штампы, виды сопроводительной документации;

• ГОСТы, ОСТы, стандарты предприятия (СТП);

•технические условия (ТУ, спецификации) на продукты, продажные каталоги;

• классификаторы дефектов;

• записи о качестве на бумажных и других носителях информации.

Анализ должен показать, насколько документация предприятия соответствует минимальным требованиям и может быть полезной в достижении успеха.

Но это еще не все.

В рамках проведения анализа фактического состояния команда должна выяснить: как фактически выполняются процессы на рабочих местах исполнителем, какие имеются в них осознанные или неосознанные отклонения и какие из этих отклонении являются случайными, а какие должны быть учтены в проекте системы QM для достижения успеха.

Эта задача должна быть, по возможности, децентрализована и охватывать все подразделения.

Помощь со стороны опытного консультанта может значительно упростить анализ фактического состояния, т.к. оценки стороннего непредвзятого наблюдателя имеют, естественно, больше объективности при определении соответствия действующих на предприятии правил и процедур требованиям норм ИСО серии 9000, вне зависимости от особенностей изложения и принятых формулировок, к которым уже привыкли члены команды.

На этом этапе важно показать членам проектной команды, что существуют многие писанные и неписаные правила, многообразные, как рецепты из поваренной книги, которые могут привести предприятие к успеху!

Оценка данных, полученных в ходе анализа фактического состояния, должна проводиться командой применительно ко всем подразделениям предприятия. Тем самым уже могут быть достигнуты первые успехи в рационализации, т.к. для участников становится видимым балласт в виде излишней документации (формуляров, инструкций, описаний процессов, органиграмм, двойной или неопределенной ответственности и т.д.), так и места, где документации не хватает, или в ее изложении отсутствуют однозначность, полнота и лаконичность, как это определено минимальными требованиями норм ИСО серии 9000.

Следующим шагом является принятие руководством предприятия решения о мероприятиях, необходимых для обеспечения дальнейшего ведения работ. Ими могут быть:

• замены в проектной команде;

• изменения в матрице ответственности по элементам системы QM;

• распределение задач по восполнению выявленных дефицитов в документации;

• изменения в календарном плане.

После того, как будет произведен соответствующий инструктаж на местах, намечены пути по достижению откорректированных целей, начинается следующий, решающий этап работы над проектом.

По опыту известно, что, при документировании процессов и процедур в справочнике QM и других вспомогательных документах, возникает большая неуверенность в правильности выбора видов и объема этой документации.

Чем меньше на предприятии опыта в решении этой проблемы, чем больше давление со стороны рынка, побуждающее предприятие ускорить внедрение системы QM, тем выше угроза опасности возникновения нерациональных затрат, связанных с подготовкой излишней документации!

Чтобы этого избежать, необходимо учитывать следующие правила:

• Копирование документации других фирм или подгонка нейтральных образцов приводит к потере времени и оттор­жению со стороны специалистов, участвующих в реализации соответствующих процессов. Здесь уместно вспомнить старую поговорку: "Прекрасно скопировано, но плохо понято!"

• Нецелесообразно также поручать составление документации системы QM своим и/или приглашенным со стороны специалистам, хотя и "осведомленным в этой области", но работающим в отрыве от коллектива ("сидящими в башне из слоновой кости"). В этом случае впоследствии обычно требуются значительные усилия по обучению и мотивации персонала, которого заставляют действовать в соответствии со "спущенными сверху" предписаниями и правилами. Поэтому при таком подходе бывает очень трудно достичь своих целей и успешно продемонстрировать действующую систему QM при проведении сертификационного аудита.

• Если составление документации системы QM происходит без непосредственного участия ответственного лица со стороны руководства предприятия, Вам также будет трудно справиться с этим самостоятельно, в том числе внести в документацию необходимые изменения, из-за недостатка полномочий.

Изложенные правила взяты еще из того времени, когда первые стандартизированные системы QM внедрялись в ограниченных рамках для военной и автомобильной промышленности, а также для обеспечения экспорта отдельных изделий машиностроения. Но они остаются актуальными и в настоящее время.

Помимо приведенных выше советов необходимо учитывать также следующее:

• Контрольные перечни состава документации системы QM, предлагаемые органами по сертификации систем качества, пригодны только как вспомогательные средства для составления описания документации системы QM и для того, чтобы проверить, на каждый ли вопрос соответствующей ступени требований норм ИСО серии 9000 в разработанной документации имеется ответ.

• Кроме того, в таких контрольных перечнях часто содержатся вопросы, которые не имеют никакого отношения к действительно минимальным требованиям данных ступеней норм ИСО серии 9000.

• Выбор названий "методологическая", "рабочая" или "контрольная" инструкция требуют дополнительных пояснений, поскольку не во всем соответствуют смыслу изначально используемых в английском оригинале норм ИСО серии 9000 понятий "процедура", "процесс", "инструкция" и часто не встречают признания со стороны специалистов, привыкших именно к последним терминам. В этом смысле единый терминологический язык, "способствующий качеству", мог бы помочь в преодолении сопротивлений при внедрении и применении систем QM.

"Разработка и внедрение системы качества должны осуществляться для достижения целей, определенных политикой организации в области качества.

Для обеспечения максимальной эффективности и удовлетворения ожиданий потребителя система качества должна соответствовать конкретному виду деятельности и выпускаемой продукции"

Такая рекомендация может быть воспринята недостаточно серьезно. Но из нее отчетливо видно, как важна настройка системы QM на индивидуальные цели предприятия, чтобы достичь желаемой пользы.

Учитывая, что средством, с помощью которого осуществляется такая настройка, является документация системы QM, необходимо рассмотреть, что под этим понимается.

В нормах ИСО серии 9000 существует целый ряд положений, связанных с документацией.

При этом под "процедурой" понимают установленные вид и порядок того, как выполняется деятельность.

В пункте 3.12 этого же стандарта написано, что процедуры и инструкции могут быть частью справочника по качеству или в нем могут быть даны на них ссылки.

Поэтому нужно очень тщательно взвесить все понятия и определения, относящиеся к документации, прежде, чем начинать строить многоступенчатую пирамиду документации как одного из средств достижения поставленных целей (рис. 11).

Как уже было сказано, в справочнике может содержаться любой вид описания системы QM и на него может быть дана соответствующая ссылка.