Значащие цифры в приближенном числе
Значащими цифрами в приближенном числе называются все цифры кроме нулей в начале числа.
Например:
| Приближенное число | Количество значащих цифр | Обратите внимание, на два последние примера. Здесь проявляется одна из особенностей приближенных чисел. В отличие от точных чисел, где нули в конце дробной части можно было бы просто отбросить, эти нули отбрасывать нельзя. |
| 547,3 | ||
| 0,0041 | ||
| 0,40005 | ||
| 0,0040 | ||
| 1,500 |
Они означают, что эти разряды известны и равны именно 0. Если вместо числа 1,500 записано 1,5, то это означает, что в этом числе разряд сотых и последующие разряды неизвестны. Если измерена длина предмета с точностью до 1 миллиметра, и она оказалась равной ровно одному метру, то результат следует записать: L=1,000м, запись L=1м будет неверной.
§2 Верные знаки в приближенном числе
Если приближенное число записано без указания погрешности, то подразумевается, что значения всех разрядов известны точно – все знаки верные, а погрешность в этом случае не превышает половины единицы последнего десятичного разряда.
Например:
| Приближенное число | Число верных знаков | Погрешность не превышает |
| 1,23 | 0,005 | |
| 0,5 | ||
| 0,056 | 0,0005 | |
| 8,32´104 | 0,005´104 = 50 | |
| 1,50 | 0,005 |
Однако более грамотно записывать приближенные числа с указанием погрешности. Цифры приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы низшего из этих цифр разряда.Цифры в последующих разрядах называют сомнительными.
Например:
| Приближенное число | Число верных знаков | Сомнительные цифры |
| 47,52±0,15 | 0,52 – разряды десятых и сотых | |
| 1,054± 0,008 | 0,054 – разряды сотых и тысячных | |
| 145±4 | 5 – разряд единиц | |
| 145±7 | 45 – разряды единиц и десятков | |
| 231,18±0,45 | 0,18 – разряды десятых и сотых |
§ 3 Правила округления
При действиях с приближенными числами часто приходится отбрасывать лишние цифры (заведомо неверные) – округлять число. При этом соблюдают следующие правила.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5 – оставшаяся n-я цифра не изменяется. Например: 5,764»5,76 или 423,1»423.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например:15,6»16 или 189»190.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я отлична от 0 – оставшаяся n-я цифра увеличивается на единицу. Например: 23,52» 24 или 0,3453»0,35.
ü Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я и более мелкие разряды равны 0. В этом случае принято округлять до четной цифры. Если оставшаяся n-я цифра четная – ее сохраняют, если нечетная – ее увеличивают на единицу. Примеры: 13,50»14; 275»280; 0,5450»0,54
§ 4 Правила записи окончательного результата
Очень важно уметь правильно записать окончательный результат, не загромождая его лишними, заведомо неверными цифрами, но и не потерять необходимые знаки.
При записи окончательного результата в первую очередь округляют погрешность. Рекомендуемый* способ оценки погрешности предполагает ее округление до двух значащих цифр (если первая цифра меньше 5) или одной (если первая цифра больше 5). Погрешность обычно округляют в большую сторону. После этого сам полученный результат округляют до того же разряда, что и погрешность, то есть оставляют в нем два сомнительных знака. Полученное число и его погрешность приводят к одинаковому разрядному множителю и выносят этот множитель за скобки. Обязательно указать размерность.
Например:
| Получено в результате расчетов | Следует записать |
| x=0,0054837 см, D x = 0,0002487 см | x =(5,48 ± 0,25) 10–3 см |
| x =60540548 Н Dx = 52487 Н | x =(6054±5) 104 Н |
| x =45,605 Ом Dx = 0,375 Ом | x =(45,60 ±0,38) Ом |
| x = 1,399821 Dx = 0,007524 | x =(1,400 ± 0,008) |
§ 5.Предельная относительная погрешность
Последний верный разряд в приближенном числе связан с абсолютной погрешностью. Относительная погрешность связана с числом верных знаков в нем.
На практике для быстрой оценки погрешности бывает полезно оценить предельную относительную погрешность dпр. Она определяется следующим образом. В приближенном числе все цифры, кроме первой значащей заменяются нулями, а абсолютная погрешность полагается равной половине единицы низшего верного разряда. Например, в числе 45738 три цифры верные, тогда dпр =(50 /40000) ´ 100% = 0,12%. Очевидно, что dпр³d.
В процессе промежуточных вычислений часто встает вопрос, какие разряды в числе следует оставлять, а какие, заведомо неверные, можно сразу отбросить, чтобы упростить расчеты. Оценить dпр очень легко, а ее знание позволяет предсказать сколько верных знаков должно иметь приближенное число.
Поскольку любое округление вносит систематическую ошибку, то при вычислении окончательного результата приходится производить действия с числом значащих цифр, превышающим на единицу число значащих цифр, полученных при измерениях, чтобы в последующем округлить результат.