Задача К3

Прямоугольная пластинка (рис. К3.0-К3.5) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К3.6-К3.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω, заданной в табл. К3 (при знаке минус направление ω противоположного показанному на рисунке). Ось вращения на рис.0-3 и 8,9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку O (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 4-7 ось вращения OO₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис.0-5) или по окружности радиуса R, т.е. по ободу пластины (рис. 6-9), движется точка М. Закон её относительного движения, выражаемый уравнением s=AM=f(t) (s – в сантиметрах, t – в секундах), задан в табл.К3, при этом на рис. 6-9 s=AM и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры b и ℓ. На всех рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А.)

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁=1c.

Указания. Задача К3 – на сложное движение точки. При её решении движение точки по пластине считать относительным, а вращательное движение самой пластины – переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить расчёты, следует изобразить точку М на пластине в том положении, в котором нужно определить её абсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунках к задаче.

Таблица К3

Номер условия	, 1/c	Рис. 0-5	Рис. 6-9
b, см	s=AM	ℓ	S=AM=f(t)
	-2		60(t⁴-3t²)+56	R
			60(t³-2t²)	R
			80(2t²-t³)-48	R
	-4		40(t²-3t)+32	R
	-3		50(t³-t)-30	R
			50(3t-t²)-64	R
			40(t-2t³)-40	R
	-5		80(t²-t)+40	R
			60(t-t³)+24	R
	-5		40(3t²-t⁴)-32	R

Пример К3.Треугольная пластина АDE вращается вокруг оси z по закону j = f₁(t) положительное направление отсчета угла j показано па рисунке дуговой стрелкой. По гипотенузе АD движется точка В по закону s = AB = f₂(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1t³ – 2,2t, s = AB = 2+15t – 3t²; ( - в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить: в момент времени t₁=2c.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой АD относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2+15t – 3t²

Поэтому

В момент времени t₁=2 c имеем

S₁ = AB₁ = 20 cм, v_отн = 3 cм/с, = -6 cм/с².

Знаки показывают, что вектор v_отн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор - в противоположную сторону. Изображаем векторы на рисунке.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = 0,1t³ – 2,2t. Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения и при t₁=2с,

Знаки указывает, что в момент времени t₁=2с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла , направление ему противоположно; отмети это на рисунке, соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h₁ точки В₁ от оси вращения z: h₁=AB₁sin30° = 10 cм. Тогда в момент времени t₁=2с , получим

Изображаем на рисунке вектор и с учетом направления и вектор направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор - по линии В₁С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение.Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен , то численно в момент времени t₁=2 с

Направление найдем,спроецировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону , т.е. по ходу часовой стрелки, на . Иначе направление можно найти, учтя, что .Изображаем вектор на рисунке.

4. Определение Так как а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. ), то в момент времени t₁=2 с

5. Определение . По теореме о сложении ускорений

Для определения проведем координатные оси В₁xyz₁ и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что векторы лежат на оси х, а векторы расположены в плоскости В₁yz₁, т.е. в плоскости пластины. Тогда, получим для момента времени t₁=1 с:

Отсюда находим значение в момент времени t₁=2 с:

Ответ: