Произведение матриц и его свойства.
2.3.1. Определение. Произведением строки A=(а1, а2, … аn) на столбец B=(b1, b2, … bn)T называется число a1b1+a2b2+…+anbn.
Это произведение обозначается через AB.
Например, если A=(1, 2, 4), B=(-1, 2, 3)Т, то
AB=(1, 2, 4) =1×(-1)+2×2+4×3=15.
Таким образом, по определению
(а1, а2, … аn) =a1b1+a2b2+…+anbn,
то есть для того, чтобы строку умножить на столбец, необходимо, чтобы число элементов строки равнялось числу элементов столбца.
2.3.2. Определение. Произведением матрицы A=(aij)m´n на матрицу B=(bij)n´k называется матрица C=(cij)m´k, такая, что
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.
Произведение матрицы A на матрицу B обозначается через AB.
Таким образом, AB=(ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)m´n, то есть элемент cij произведения A на B получается как произведение i-й строки (то есть строки под номером i) матрицы A на j-й столбец (то есть столбца под номером j) матрицы B. В частности, для того, чтобы умножить матрицу A на матрицу B, необходимо, чтобы число элементов в строке матрицы A совпадало с числом элементов в столбцах матрицы B, что означает, что число столбцов первого сомножителя должно совпадать с числом строк второго. В противном случае произведение матриц не существует. При этом число строк произведения AB равно числу строк первой матрицы A, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы B. Так, произведение матрицы A=(aij)2´2 на матрицу B=(bij)2´2 является матрицей C=(cij)2´2 размерности 2´2:
= ;
а произведение матрицы A=(aij)2´2 на матрицу B=(bij)2´3 является матрицей C=(cij)2´3:
= .
Произведение B=(bij)2´3 на A=(aij)2´2 не существует, так как число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A. Например, если A= , B= , C= , то
AB= = = ,
BA= = = ,
AC= = = ,
CA не определено (то есть не существует).
В частности, мы видим, что, вообще говоря, AB≠BA, то есть привычное для чисел правило «от перестановки мест сомножителей призведение не меняется» для матриц не работает.
2.3.3. Теорема. Операция произведения матриц обладает следующими свойствами:
1о. Вообще говоря, AB≠BA.
2о. Если произведения AB и BC определены, то определены также произведения (AB)C, A(BC) и при этом выполняется равенство
(AB)C=A(BC).
3о. Am´nЕn=ЕmAm´n=Am´n. В частности, если A - квадратная матрица порядка n, то AЕ=ЕA=A, где E - единичная матрица порядка n.
4о. Если AB определено, то для любого числа a произведения (aA)B,A(aB) также определены и имеют место равенства
a(AB)=(aA)B=A(aB).
5о. Если определено произведение A(B+C), то определены также произведения AB, AC и сумма AB+AC, и справедливо равенство
A(B+C)=AB+AC.
6о. Если определено произведение (A+B)C, то определены также произведения AC, BC и сумма AC+BC, и справедливо равенство
(A+B)C=AC+BC.
7о. Если определено произведение AB, то определено также произведение BTAT и справедливо равенство
(AB)T=BTAT.
2.3.4. Перечисленные свойства естественным образом обобщаются. Например, как и в случае суммы, свойство 2о обобщается следующим образом:
2¢о. Если произведения A1A2, A2A3, …, Ak-1Ak, определены, то определено также произведение
(…((A1A2)A3)…Ak-1)Ak (2.2)
и результат произведения не зависит от расстановки скобок.
В силу этого в произведениях типа (2.2) скобки принято опускать:
A1A2…Ak (2.3)
Вообще, в произведении (2.3) определено произведение любого количества l друг за другом идущих матриц: AiAi+1…Ai+l-1. В силу свойства 1о результат произведения зависит от порядка следования сомножителей. Более того, при перестановке сомножителей произведение может быть вообще не определённым (то есть не существовать).
4¢о. Если определено произведение A1A2…Ak, то определены также произведения (aA1)A2…Ak, A1(aA2)…Ak, A1A2…(aAk), и имеют место равенства
(aA1)A2…Ak=A1(aA2)…Ak=…=A1A2…(aAk).
5¢о, 6¢о. Если определены произведения A(B1±B2±…±Bk) и (A1±A2±…±Ak)B, то определены соответственно произведения AB1, AB2, …, ABk и A1B, A2B, …, AkB и имеют место равенства
A(B1±B2±…±Bk)=AB1±AB2±…±ABk,
(A1±A2±…±Ak)B=A1B±A2B±…±AkB.
Здесь сочетания знаков «+» и «-» произвольные.
7¢о. Если произведение A1A2…Ak-1Ak определено, то определено также произведение и при этом имеет место равенство
(A1A2…Ak-1Ak)Т= .
2.3.5. Определение. Если A - квадратная матрица, то произведение называется k-й степенью матрицы A и обозначается через Ak:
Ak= .