Критерий совместности системы.
2.3.1. Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы.
2.3.2. Упражнение. Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить её методом Гаусса:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Решение. а) Найдём ранги обеих матриц (основной и расширенной) методом окаймления миноров, предварительно выписав основную и расширенную матрицы системы:
A= 
и 
= 
Найдём ранг основной матрицы:
M1=2¹0, M2= 
=0, 
= 
= -16¹0, M3= 
=0, 
= 
=0. Таким образом, rgA=2.
Для нахождения ранга расширенной матрицы достаточно окаймить ненулевой минор максимального порядка матрицы A 3-й строкой и столбцом свободных членов, так как все миноры матрицы A являются также минорами матрицы : 
= 
=0. Следовательно, rg =rgA=2 и система совместна.
Решаем систему эквивалентными преобразованиями расширенной матрицы:
® 
® 
® Ä
(в частности получаем ещё раз, что ранг расширенной матрицы равен 2)
® 
®
® 
® 
.
Таким образом, x1= 
+ 
a - 
b, x2=a, x3=- 
b, x4=b.
б) M1=3¹0, M2= 
=23¹0, M3= 
=0, = 
=0. Таким образом, rgA=2. Далее, = 
= -33¹0, то есть rg =3. Так как rgA¹rg , то система несовместна.
Ответ: а) ( + a - b; a; - b; b), где a, bÎR;
б) Система несовместна.