Система из трёх уравнений с тремя неизвестными.

2.3.1. Определение. Пусть даны линейные уравнения

a₁x+b₁y+c₁z=d₁,(2.3.1)

a₂x+b₂y+c₂z=d₂, (2.3.2)

a₃x+b₃y+c₃z=d₃. (2.3.3)

Если требуется найти общее решение уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), то говорят, что они образуют систему. Система, состоящая из уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), обозначается следующим образом:

(2.3.4)

Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы. Решить систему (2.3.4) ¾ это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.

Как и в предыдущих случаях, ниже мы найдем условия, при которых система (2.3.4) имеет единственное решение, имеет более одного решения и не имеет ни одного решения.

2.3.2. Определение. Пусть дана система (2.3.4) линейных уравнений. Матрицы

и

называются соответственно (основной) матрицей и расширенной матрицей системы.

2.3.3. Определения равносильных систем вида (2.3.4), а также элементарных преобразований 1-го и 2-го типов вводятся аналогично, как и для систем из двух уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Элементарным преобразованием 3-го типа системы (2.3.4) называется перемена местами некоторых двух уравнений этой системы. Аналогично предыдущим случаям систем из 2-х уравнений при элементарных преобразованиях системы получается система, равносильная данной.

2.3.4. Упражнение. Решить системы уравнений:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

Решение. а)

á(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы (преобразование 3-го типа).

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего (преобразование 2-го типа); таким образом, из второго и третьего уравнений исключили неизвестную x.

(3) Второе уравнение, умноженное на 14, вычли из третьего; из третьего исключили неизвестную y.

(4) Из последнего уравнения находим z=1, подставляя которое во второе, находим y=0. Наконец, подставляя y=0 и z=1 в первое уравнение, находим x=-2.ñ

б)

á(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы.

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего.

(3) Второе и третье уравнения совпали. Одно из них исключаем из системы (или, по-другому, если вычесть из третьего уравнения второе, то третье уравнение обратится в тождество 0=0;оно исключается из системы. Полагаем z=a.

(4) Подставляем z=a во второе и первое уравнения.

(5) Подставляя y=12-12a в первое уравнение, находим x.ñ

в) Если первое уравнение разделить на 4, а третье ¾ на 6, то придём к равносильной системе

которая равносильна уравнению x-2y-z=-3. Решения этого уравнения известны (см. Пример 2.2.3 б))

г)

Последнее равенство в полученной системе является противоречивым. Следовательно, система решений не имеет.

áПреобразования (1) и (2) ¾ точно такие же, как и соответствующие преобразования системы б))

(3) Из последнего уравнения вычли второе.ñ

Ответ: а) (-2; 0; 1);

б) (21-23a; 12-12a; a), aÎR;

в) {(-3+2a+b; a; b)|a, bÎR};

г) Система решений не имеет.

2.3.5. Из предыдущих примеров вытекает, что система с тремя неизвестными, как и система с двумя неизвестными, может иметь единственное решение, бесконечное множество решений и не иметь ни одного решения. Ниже мы разберём все возможные случаи. Но предварительно введём некоторые обозначения.

Через D обозначим определитель матрицы системы:

D= .

Через D₁ обозначим определитель, полученный из D заменой первого столбца на столбец свободных членов:

D₁= .

Аналогично, положим

D₂= и D₃= .

2.3.6. Теорема. Если D¹0, то система (2.3.4) имеет единственное решение

, , . (2.3.5)

Формулы (2.3.5) называются формулами Крамера.

3.3.7. Упражнение.Решить системы по формулам Крамера.

а) б) в)

Следующая теорема ¾ о множестве решений системы (2.3.4) для случая, когда D=0.

2.3.8. Теорема. Пусть дана система (2.3.4), D ¾ определитель системы и D=0. Тогда:

1) Если хотя бы один из определителей D₁, D₂ или D₃ не равен нулю, то система решений не имеет.

2) Если хотя бы один из определителей , или (i¹j) не равен нулю и D₁=D₂=D₃=0, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от одного параметра.

3) Если = = =0 для всех i¹j и хотя бы один из определителей , , не равен нулю, то система решений не имеет.

4) Если = = = = = =0 для всех i¹j, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от двух параметров.

2.3.9. Упражнение. Исследовать системы упражнения 2.3.4 на наличие решений и решить их.