Векторное произведение векторов и его свойства.

3.2.1. Векторным произведением векторов и называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1) ^ , ^ ;

2) | |=| |×| |×sin( );

3) тройка ( , , ) - правая.

Векторное произведение векторов и обозначается через [ , ] и ´ .

3.2.2. Свойство 3) определения векторного произведения векторов и выражает его геометрический смысл: Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что длина векторного произведения равна площади параллелограмма, натянутого на сомножители (рис.3.2).

При этом и коллинеарны, тогда и только тогда, когда [ , ]= .

3.1.3. Теорема. Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. Для любых векторов и имеет место равенство

[ , ]=-[ , ].

2^о. Для любого числа a и любых векторов и имеют место равенства

[a , ]=a[ , ],

[ , a ]=a[ , ].

3^о. Для любых векторов , и имеют место равенства

[ + , ]=[ , ]+[ , ],

[ , + ]=[ , ]+[ , ].

4^о. Если =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z), то

[ , ]= , - , (3.4)

или, в виде разложения в системе орт

[ , ]= - + (3.5)

3.2.4. Свойства 2^о и 3^о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей:

[a₁ +a₂ +…+a_k , ]=a₁[ , ]+a₂[ , ]+…+a_k[ , ],

[ , b₁ +b₂ +…+b_k [=b₁[ , ]+b₂[ , ]+…+b_k[ , ]

Аналогичное обобщение имеет место на любое число слагаемых в обоих сомножителях. Например,

[a +b , g +d +e ]=

=ag [ , ]+bg[ , ]+ad[ , ]+bd[ , ]+ae[ , ]+be[ , ].

3.2.5. Равенство (3.5) формально записывается в виде

[ , ]= (3.6)

Формула (3.6) позволяет легко восстановить формулу (3.5) (при условии знания определителя 3-го порядка или его разложения по первой строке).