Скалярное произведение векторов и его свойства.

3.1.1. Скалярным произведением векторов и называется число | |×| |×cos( ). Векторы и называются сомножителями в скалярном произведении.

Скалярное произведение векторов и обозначается через ( , ). Таким образом, по определению

( , )=| |×| |×cos( ) (3.1)

3.1.2. Если и коллинеарны, то ( , )=±| |×| |. При этом знак «+» берётся в случае, когда , и «-» - когда . В частности, =( , )= .

Наконец, векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0: ( , )=0.

3.1.3. Теорема. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. Для любых векторов и имеет место равенство

( , )=( , ).

2^о. Для любого числа a и любых векторов и имеют место равенства

(a , )=a( , ),

( , a )=a( , ).

3^о. Для любых векторов , и имеют место равенства

( + , )=( , )+( , ),

( , + )=( , )+( , ).

4^о. Если =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z), то

( , )=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z. (3.2)

Аналогичное свойство справедливо и для векторов на плоскости (только будет отсутствовать слагаемое a_zb_z). В частности, a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0 - условие ортогональности векторов и .

3.1.4. Свойства 2^о и 3^о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей:

(a₁ +a₂ +…+a_k , )=a₁( , )+a₂( , )+…+a_k( , ),

( , b₁ +b₂ +…+b_k )=b₁( , )+b₂( , )+…+b_k( , )

Аналогичное обобщение имеет место на любое число слагаемых в обоих сомножителях. Например,

(a +b , g +d +e )=

=ag ( , )+bg ( , )+ad( , )+bd( , )+ae( , )+be( , ).

3.1.5. Если известны координаты векторов и , то можно определить косинус cos( ) угла между ними, а по косинусу - и сам угол ( ). Действительно, для векторов в пространстве из (3.1) имеем

cos( )= ,

куда подставляя (3.2) и | |= , = , получаем

cos( )= (3.3).

Аналогичная формула верна и для векторов на плоскости.