Уравнения поверхности и линии в пространстве

4.2.1. Предположим, П - геометрическое место точек, являющееся некоторой поверхностью. Может оказаться, что координаты точек П связаны некоторым соотношением - уравнением

F(x, y, z)=0. (4.7)

Это уравнение называется общим уравнением поверхности П (при этом возможно, что некоторые слагаемые из левой части перенесены в правую).

Если из (4.7) z явно выражается через x и y в виде

z=f(x, y), (4.8)

то уравнение (4.8) называется явным уравнением поверхности П.

Наконец, координаты x, y и z точек поверхности могут быть функциями одних и тех же аргументов u и v:

(4.9)

Уравнения (4.9) называются параметрическими уравнениями поверхности П.

Пример

=R².

- общее уравнение сферы с центром в начале координат О(0, 0, 0) и радиуса R,

- параметрические уравнения сферы.

4.2.3. Как и в случае линии, алгебраические преобразования одного вида уравнения приводят к другому виду. Также, уравнение одной и той же поверхности может быть записано в различных системах координат. Наконец, уравнение одной и той же поверхности может быть задано в одноимённой системе с различными началами и осями.