Геометрическое место точек. Уравнения линии на плоскости

4.1.1. Пусть g - некоторое множество точек (на плоскости или в пространстве). Тогда говорят, что они образуют геометрическое место точек. Вообще говоря, g может быть произвольным. Но особый интерес представляют случаи, когда g образует на плоскости некоторую линию (или её часть), а в пространстве - линию или поверхность (или их части).

Часто это геометрическое место может быть описано словесно.

Примеры. 1. Геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от концов отрезка - это серединный перпендикуляр к отрезку.

2. Геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки - это окружность (на плоскости) или сфера (в пространстве)

4.1.2. Предположим, g - геометрическое место точек, являющееся некоторой линией. Может оказаться, что координаты точек g связаны некоторым соотношением - уравнением

F(x, y)=0. (4.1)

Это уравнение называется общим уравнением линии g (при этом возможно, что некоторые слагаемые из левой части перенесены в правую).

Если из (4.1) y явно выражается через x в виде

y=f(x), (4.2)

то уравнение (4.2) называется явным уравнением линии g.

Наконец, координаты x и y точек линии могут быть функциями одного и того же аргумента:

(4.3)

Уравнения (4.3) называются параметрическими уравнениями линии g.

4.1.2. Для того, чтобы доказать, что некоторое из уравнений (4.1) - (4.3) является уравнением линии g, достаточно доказать, что, во-первых, координаты любой точки линии g удовлетворяют данному уравнению, и, во-вторых, обратно, любая точка, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, принадлежит линии (то есть является точкой линии g).

Пример 3. Найдём различные уравнения окружности. Как отмечено выше, это - геометрическое место точек, равноудалённых от одной (фиксированной) точки. Возьмем систему координат так, чтобы начало координат совпало с данной фиксированной точкой. Пусть точки удалены от начала координат на расстояние R (то есть R - радиус окружности), X(x, y) - произвольная точка окружности. Тогда |OX|= , то есть =R. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем

=R². (4.4)

Обратно, пусть X(x, y) - точка, координаты которой удовлетворяют (4.4). Тогда |R|= . Но - расстояние от точки X до начала координат O. И это справедливо для произвольной точки X, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.4). Значит, - постоянное число и, следовательно, точки X равноудалены от точки O. Поэтому они лежат на окружности радиуса |R|.

Преобразуем уравнение (4.4):

=R² Û y²=R²-x² Û y=± .

Мы получили два уравнения вида (4.2). Первое - y= описывает верхнюю часть окружности, второе y=- - нижнюю.

Наконец,

(4.5)

- параметрические уравнения окружности. Ясно, что при изменении параметра t в пределах [0, 2p) точка с координатами (Rcost, Rsint) пробегает окружность радиуса R с центром (0, 0) (рис. 4.1)

 

4.1.3. От параметрических уравнений (4.3) часто можно перейти к уравнениям (4.1) и (4.2) и обратно. В первом случае достаточно из системы (4.3) исключить параметр t.

Например, если кривая задана уравнениями

то выразив t через x (t= ) и подставив его в y, получаем y=( )³=x , то есть y=x - уравнение кривой в виде (4.2). Другой пример, возведём x и y в (3.5) в квадрат и сложим:

=R²cos²t+ R²sin²t= R²(cos²t+sin²t)=R²,

то есть =R², и мы получили уравнение окружности в виде (4.1).

4.1.4. В предыдущем параграфе мы ввели полярные координаты. Ясно, что во всех видах уравнений линии можно вместо прямоугольных координат x и y рассматривать полярные r и j. Тогда мы получим уравнения линии в полярных координатах. Уравнения (4.1) - (4.3) - это уравнения линии в прямоугольны координатах. Наиболее часто рассматривают уравнения в полярных координатах, аналогичные (4.1) и (4.2).

Например, уравнение окружности в полярной системе координат будет следующим: r=R. Это уравнение означает, что для любого j точка окружности отстоит от начала координат на постоянное число (то есть r - константа).

4.1.5. Преобразования координат иногда позволяют написать уравнение кривой (поверхности), исходя из известного его уравнения. Например, напишем уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x₀, y₀), зная его уравнение (4.4) в случае, когда центр окружности совпадает с началом системы координат. Введём новую систему O¢x¢y¢ с началом в центре окружности посредством параллельного переноса. Тогда в новой системе уравнение окружности имеет вид

x¢²+y¢²=R². (4.6)

Так как связь между старыми и новыми координатами имеет вид

то x¢=x-x₀ и y¢=y-y₀, подставляя которые в (4.6) получаем (x-x₀)²+(y-y₀)²=R². Это и есть искомое уравнение окружности.

4.1.6. Упражнения. 1. Найти уравнение геометрического места точек:

a) Равноудалённых от точек A(-1, 1) и B(1, -1);

б)Равноудалённых от точек A(1, 1) и B(-1, -1);

в) Равноудалённых от точек A(2, 1) и B(4, -1).

Решение. а) Пусть X(x, y) - произвольная точка геометрического места точек. Тогда по условию задачи |XA|=|XB|. Выразим расстояния |XA| и |XB| и в координатах:

|XA|= , |XB|= .

Тогда |XA|=|XB| Û = . Возведём обе части последнего уравнения в квадрат: = . После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем x-y=0, или y=x. Как известно из школьного курса геометрии, это - уравнение биссектрисы первого квадранта ПДСК.

Обратно, если связь между координатами точек множества y=x, то, как уже мы заметили, они образуют прямую - биссектрису первого квадранта ПДСК. Очевидно, они равноудалены от точек A(-1, 1) и B(1, -1).

2. Исключить параметр из уравнения кривой:

а) x=3t, y=t+2;

б) x=3t², y=t+2;

в) x=3cost+5, y=3sint-2.

3. Уравнения геометрического места точек упражнения 1 написать в полярных координатах.

Решение. a) В уравнение y=x в прямоугольных координатах подставим вместо y и x их выражения через полярные координаты x=rcosj, y=rsinj и преобразуем: rsinj =rcosj Û tgj=1 (обе части разделили на rcosj).

Ответ: tgj=1.