Упражнения
1) Точка A задана своими координатами в прямоугольной системе координат Oxy. Система Oxy подвергается параллельному переносу, O¢ - начало новой системы O¢x¢y¢. Найти координаты точки A в новой системе:
а) A(3, -4), O¢=(2, 1);
б) A(4, 2), O¢=(-2, 3);
в) A(2, -5), O¢=(3, -2).
Решение. а) Применяем формулу (3.1), из которой следует x¢=x-x0, y¢=y-y0, где (x0, y0) - координаты нового начала координат O¢. Имеем x0=2, y0=1, x=3, y=-4. Поэтому x¢=3-2=1, y¢=-4-1=-5, то есть (1, -5) - координаты точки A в системе O¢x¢y¢.
Ответ: (1, -5).
2)Известны: прямоугольные координаты точки A в новой системе, которая получена параллельным переносом; координаты начала O¢ в старой системе. Найти координаты A в старой системе:
а) A(3, -4), O¢=(2, 1);
б) A(4, 2), O¢=(-2, 3);
в) A(2, -5), O¢=(3, -2).
Решение. Указание. Известны (x0, y0) и (x¢, y¢) из формул (3.1). Найти (x, y).
3) Новая прямоугольная система Ox¢y¢ получается поворотом вокруг начала О на угол a. Известны новые координаты точки А. Найти старые:
а) a= 
, A(4, -2);
б) a= 
, A(-3, 1);
в) a= 
, A(2, 3).
Решение. а) Применяем формулы (3.3). Имеем a= , (x¢, y¢)=(4, -2). Поэтому
x=4cos -(-2)sin =4× 
+2× 
=2+ 
,
y=4sin +(-2)cos =4× -2× =2 -1,
то есть (2+ , 2 -1) - старые координаты точки А.
Ответ: а) (2+ , 2 -1).
4) Новая прямоугольная система Ox¢y¢ получается поворотом вокруг начала О на угол a. Известны старые координаты точки А. Найти новые:
а) a= , A(4, -2);
б) a= , A(-3, 1);
в) a= , A(2, 3).
Решение. а) В формуле (3.3) имеем a= , (x, y)=(4, -2), то есть имеем систему
Û 
Решаем последнюю систему:
Û 
Далее воспользуемся правилом Крамера:
D= 
=4, D1= 
=8-4 , D2= 
=-4-8 ,
x¢= 
= 
=2- , y¢= 
= 
=-1-2 ,
то есть (2- , -1-2 ) - новые координаты точки А.
Ответ: а) (2- , -1-2 ).