Координаты вектора
3.2.1. Предложение. Если вектор x пространства имеет представление в виде линейной комбинации x=a1a1+a2a2+…+akak линейно независимой системы векторов a1, a2, …, ak, то это представление единственно.
Из 3.2.1 вытекает
3.2.2. Следствие. Любой вектор x пространства имеет единственное представление в виде
x=x1e1+x2e2+…+xnen (3.1)
линейной комбинации базисных векторов e1, e2, …, en пространства.
3.2.3. Определение. Коэффициенты x1, х2, …, хn линейной комбинации (3.1) вектора x называется координатами вектораxв базисе (e). При этом обозначают x=(x1, х2, …, хn). Если мы хотим подчеркнуть, что вектор x задан своими координатами x1, х2, …, хn именно в базисе (e), то будем писать x=(x1, х2, …, хn)e.
3.2.4. Теорема. Пусть даны векторы x=(x1, х2, …, хn)e и y=(y1, y2, …, yn)e линейного пространства V. Тогдаx+y=(x1+y1, x2+y2, …, xn+yn)e и для любого числа a ax=(ax1, ax2, …, axn)e.Другими словами, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число их координаты умножаются на это число.
Примеры. I. Пусть V - линейное пространство матриц размерности 2´2. Тогда векторы e1= 
, e2= 
, e3= 
, e4= 
образуют базис этого пространства. Действительно, во-первых, они линейно независимы: из a1e1+a2e2+a3e3+a4a4=0V следует α1=α2=α3=α4=0, так как имеет место следующая цепочка равносильностей:
a1e1+a2e2+a3e3+a4a4=0V Û a1 +a2 +a3 +a4 = 
Û
Û 
+ 
+ 
+ 
= Û 
= Û 
Во-вторых, любой вектор (то есть матрица) является линейной комбинацией e1, e2, e3, e4: 
=a11 +a12 +a21 +a22 .
II. Система векторов
e1=(1, 0, 0, …, 0),
e2=(0, 1, 0, …, 0),
e3=(0, 0, 1, …, 0), (3.2)
………………....,
en=(0, 0, 0, …, 1)
образует базис арифметического пространстваAn. При этом, если 
=(a1, a2, …, an)ÎAn, то =a1e1+a2e2+…+anen,то есть α1, α2, …, αn – координаты вектора в базисе(е).
Действительно, во-первых, эта система векторов является линейно независимой: из a1e1+a2e2+…+anen=0 следует a1=a2=…=an=0, так как имеет место следующая цепочка равносильностей
a1e1+a2e2+…+anen= 
Û a1(1, 0, …, 0)+a2(0, 1, …, 0)+…+an(0, 0, …, 1)=(0, 0, …, 0)
Û (a1, 0, …, 0)+ (0, a2, …, 0)+…+ (0, 0, …, an)=(0, 0, …, 0) Û
(a1, a2, …, an)=(0, 0, …, 0) Û a1=0, a2=0, …, an=0.
Во-вторых, если =(a1, a2, …, an)– произвольный вектор из An, то
a1e1+a2e2+…+anen=a1(1, 0, …, 0)+a2(0, 1, …, 0)+…+an(0, 0, …, 1)=
=(a1, a2, …, an)= .
3.2.5. Определение. Базис, составленный из системы векторов (3.2) называется стандартным базисом арифметического линейного пространства.
3.3. Упражнение. Доказать, что векторы a1, a2, a3 упражнения 2.3.2 образуют базис в A3, и найти координаты вектора a4 в этом базисе.
Решение. а) Согласно определения базиса покажем, что векторы a1, a2, a3 линейно независимы и любой вектор x=(x1, x2, x3)ÎA3 является их линейной комбинацией.
Составим для a1, a2, a3 равенство a1a1+a2a2+a3a3=0V и подвергнем его равносильным преобразованиям:
a1a1+a2a2+a3a3=0V Û
Û a1(1, 1, 1)+a2(0, 1, 1)+a3(0, 0, 1)=(0, 0, 0) Û
Û (a1, a1+a2, a1+a2+a3)=(0, 0, 0) Û
Û 
Û 
и векторы a1, a2, a3 линейно независимы.
Теперь покажем, что существуют a1, a2, a3 такие, что a1a1+a2a2+a3a3=x, где x=(x1, x2, x3)ÎA3. Действительно,
a1a1+a2a2+a3a3=x Û (a1, a1+a2, a1+a2+a3)=(x1, x2, x3) Û 
Так как определитель D= 
=0 системы не равен 0, то эта система - определённая, то есть для данных x1, x2, x3 имеется единственное решение (a1, a2, a3) этой системы, которое удовлетворяет равенству a1a1+a2a2+a3a3=x. Это означает, что произвольный вектор x из A3 является линейной комбинацией векторов a1, a2, a3. Наконец, мы видели, что -3a1-3a2-3a3+a4=0V, откуда a4=3a1+3a2+3a3 (см. решение Упражнения 2.3.2а)). Это означает, что (3, 3, 3) - координаты a4 в базисе (a1, a2, a3).
Ответ: а) (3, 3, 3) - координаты a4 в базисе a1, a2, a3.