Геометрический смысл линейного неравенства

2.1.1. Множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному неравенству

Ax+By£C (2.1)

образует полуплоскость с границей Ax+By=C.

2.1.2. Для того, чтобы построить полуплоскость (2.1), достаточно:

1) Построить прямую Ax+By=C.

2) Взять произвольную точку, не лежащую на прямой Ax+By=C, и подставить её координаты в неравенство (2.1). Если при этом получится верное числовое неравенство, то та полуплоскость, относительно прямой Ax+By=C, в которой лежит взятая точка, определяется неравенством (2.1). В противном случае - другая.

2.1.3. Пример. Построим полуплоскость 3x-4y£12.

1) Построим прямую 3x-4y=12. Для этого достаточно найти точки пересечения прямой с осями координат: (0; -3) и (4; 0).

2) Возьмём произвольную точку, не лежащую на прямой, и подставим её координаты в данное неравенство. Например, подставим в данное неравенство координаты точки О(0; 0): 3×0-4×0£12. Получилось верное числовое неравенство. Значит, полуплоскость с границей 3x-4y=12, в которой лежит начало координат, является искомой (на рис. этот факт обозначен двумя стрелками, указывающими на направление полуплоскости).

2.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств. Пусть дана система линейных неравенств с двумя переменными:

(2.2)

2.2.1. Если система (2.2) совместна (то есть имеет решение), то множество решений системы образует на плоскости с ПДСК выпуклый многоугольник (возможно, неограниченный), образованный пересечением полуплоскостей, определяемых неравенствами системы.

2.2.2. Для того, чтобы изобразить множество системы (2.2) на плоскости, достаточно:

1) Построить каждую из полуплоскостей, определяемых неравенствами системы (2.2).

2) Найти общую часть этих полуплоскостей (их пересечение).

2.2.3. Пример.Изобразить на плоскости множество решений системы

Решение. 1) Построим каждую из полуплоскостей, определяемых неравенствами системы.

2) Треугольник ABC вместе с внутренними точками образует искомое множество.

2.3. Упражнение. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)