Взаимное расположение прямых.

1.2.1. Пусть прямые l₁: A₁x+B₁y+C₁=0 и l₂: A₂x+B₂y+C₂=0 заданы своими общими уравнениями. Тогда:

а) они параллельны тогда и только тогда, когда = , при этом они совпадают тогда и только тогда, когда это отношение равно и не совпадают тогда и только тогда, когда это отношение не равно ;

б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда A₁A₂+B₁B₂ =0.

1.2.2. Из 1.2.1 следует, что если ≠ , то прямые l₁ и l₂ пересекаются в единственной точке (x₁, y₁), которая является решением системы

1.2.3. Если прямые l₁ и l₂ заданы своими общими уравнениями (см. 1.2.1), то угол между ними можно найти из соотношения

cos( )= , (1.8)

где =(A₁, B₁), =(A₂, B₂).

1.2.4. Упражнение. Выяснить взаимное расположение прямых:

а) l₁: 2x-3y+4=0; l₂: 4x-6y+8=0; l₃: 6x-9y-12=0; l₄: 3x+2y-5=0;

l₅: x+2y+1=0;

б) l₁: 4x-3y-9=0; l₂: 3x+4y-8=0; l₃: 2x+y-4=0; l₄: 8x+4y+12=0;

l₅: 8x+4y-16=0.

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними. Если прямые не параллельны, то найти точку их пересечения.

Решение. а) l₁ и l₂: = = . Поэтому прямые l₁ и l₂ совпадают.

l₁ и l₃: = ≠ . Поэтому прямые l₁ и l₃ параллельны, но не совпадают.

l₁ и l₄: 2×3+(-3)×2=0. Поэтому прямые l₁ и l₄ перпендикулярны.

l₁ и l₅: ≠ и 2×1+(-3)×2≠0. Поэтому прямые ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними. Имеем (по формуле (1.8))

cos( )=cos( )= = »0,4961.

Тогда ( )»arccos0,4961»1,05 (радиан).

Найдём точку пересечения прямых l₁ и l₅. Для этого решаем систему

Û Û Û

Таким образом - точка пересечения прямых l₁ и l₅.

Аналогично исследуется взаимное расположение пар прямых (l₂, l₃), (l₂, l₄), (l₂, l₅), (l₃, l₄), (l₃, l₅), (l₄, l₅) (довести до конца!).

Ответ: а) Прямые l₁ и l₂ совпадают, l₁ и l₃ - параллельны и не совпадают, прямые l₁ и l₄ перпендикулярны, угол между прямыми l₁ и l₅ равен »1,05 радиан, - точка пересечения прямых l₁ и l₅.