Тени в ортогональных проекциях и перспективе.

 

На архитектурно-строительных чертежах изображают падающие и собственные тени. Тени придают чертежам наглядность.

 

Расположенный на пути света предмет отбрасывает на находящуюся за ним поверхность падающую тень. Неосвещенная часть поверхности предмета также находится в тени, которая называется собственной.

При построении теней направление лучей в ортогональных проекциях на архитектурных чертежах принято брать по диагонали куба (рис.9).

 

 

 

Рис.9

 

такое направление лучей света удобно при построении теней на фасадах зданий.1

 

1. Тень от точки и прямой.

1.1 Тень от точки.

 

Тень от точки будет там, где луч света, проходящий через точку, пересекает поверхность, на которую падает тень.

Для получения тени от точки А через проекции A₁ и А₂ проводим проекции S₁ и S₂ луча S под углом 45 ° к оси проекций. Затем находим следы лучей как следы прямых линий, т.е. находим точку пересечения луча с плоскость проекций.

Для получения тени от точки А на плоскость П₁ продолжим фронтальную проекцию луча S₂ до пересечения с осью ОХ, далее проводим линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией луча S₁. Получим тень от точки А на плоскость П₁ – A_П1 (рис.10).

 

Рис.10

 

Для получения тени от точки А на плоскость П₂ продолжим S₁ до пересечения с осью ОХ, далее проводим линию связи до пересечения с фронтальной проекцией луча S₂. Получим тень от точки А на плоскость П₂ – А_П2 (рис.11).

 

Рис.11

 

1.2 Тень от отрезка прямой.

 

Тень от прямой на плоскость в общем случае прямая. Следовательно, чтобы построить тень от отрезка прямой, достаточно построить тень от двух его точек. Например, тень от отрезка АВ на плоскость П₁. Сначала строим тень А_П1 от точки А на плоскость П₁ (см. п. 1.1), затем тень В_П1 от точки В на плоскость П₁. Соединив тени точек A_П1 и В_П1 получим тень отрезка АВ на плоскость П₁ (рис.12).

 

Рис.12

 

 

Аналогично строим тень от отрезка CD на плоскость П₂ (рис13).

 

 

Рис.13

 

Если тень от прямой падает одновременно на две или несколько плоскостей, то она будет преломляться на линиях пересечения этих плоскостей (рис14). Построение тени будем производить в следующей последовательности:

1) Строим тень отрезка на одну из плоскостей проекций, предполагая, что другой не суще­ствует. Например, строим тень от отрезка АВ на плоскость П₁. Получим тень от точки А – А_П1 - действительная тень. Получим тень от точки В - (В_П1) - мнимая тень.

2) Построенная тень пересекает ось ОХ в точке К_X - точка перелома.

3) Так как тень от точки В на плоскость П₁ получилась мнимой, строим действительную тень от точки В на плоскость П₂ - получим В_П2.

4) Соединив последовательно A_П1, К_X, В_П2 - получим тень от отрезка АВ.

 

 

Рис.14

 

Тени от прямых частного положения.

Отрезок АВ параллелен горизонтальной плоскости проекций П₁. Тень А_П1 В_П1

параллельна прямой АВ (рис.15).

Рис.15

 

 

Отрезок CD параллелен фронтальной плоскости проекций П_П2. Тень С_П2D_П2 параллельна прямой CD (рис.16).

Рис.16

 

 

Вывод: Падающие тени от прямых, параллельных плоскостям проекций, будут параллельны самим прямым на той же плоскости, которой данные прямые параллельны.

Рис.17

 

Отрезок EF перпендикулярен к горизонтальной плоскости проекций П₁. Тень E_П1 F_П1 совпадает с горизонтальной проекцией луча (рис.17).

Отрезок KL перпендикулярен к фронтальной плоскости проекций П₂. Тень К_П2L_П2 совпадает с фронтальной проекцией луча (рис.18).щщ0шш

Рис.18

 

Отрезок MN расположен так, что точка М, находится в плоскости П₁. Тень M_П1N_П1 проходит через точку М = M_П1 (рис.19)

Рис.19

 

2. Тени от плоских фигур.

 

2.1 Тень от многоугольника.

 

Построение тени от многоугольника сводится к построению тени от всех его сторон. Рассмотрим тень от четырехугольника ABCD. Строим тени от всех вершин четырехугольника на плоскость П₁. Получим A_П1, B_П1, C_П1, D_П1. Соединив их последовательно получим тень от четырехугольника на плоскость П₁ (рис.20).

Рис.20

 

Рассмотрим пример построения тени треугольника ABC на две плоскости проекций (рис.21). Прежде всего строим тень от треугольника на плоскость П₁ предполагая, что плоскости П₂ нет. Для этого строим тени от точек А, В, С на плоскость П₁.Получаем действительные тени A_П1 и С_П1. Тень от точки В получилась мнимая - (В_П1). Соединяем тени точек А_П1 (В_П1), С_П1. Тень от стороны АВ - А_П1(В_П1) пересекает ось X в точке 1_х. Тень от стороны СВ - C_П1(B_П1) пересекает ось X в точке 2_Х. Точки 1_Х и 2_Х -точки перегиба.

Так как тень от точки получилась мнимой - строим действительную тень от точки В - В_П2-Соединяя действительные тени от точек А, В, С и точки перегиба, получим тень от треугольника ABC.

Рис.21

2.2 Тень от окружности.

 

Для построения тени от окружности необходимо разделить ее на несколько частей, например, на 8 или 12, и найти тень от каждой точки.

Рассмотрим тень от окружности, параллельной фронтальной плоскости проекций (рис.22). Для той части тени, которая ложится на фронтальную плоскость проекций, достаточно найти тень от центра окружности О_П2 и из нее радиусом равным радиусу окружности провести круг. Часть тени, которая будет находиться ниже оси X - будет мнимая тень от части окружности. Точки 1_Х и 2_x- точки перегиба. Та тень, которая падает на горизонтальную плоскость проекций, будет изображаться в виде эллипса. Для его изображения строим тени от точек на П₁.

 

Рис.22

 

 

3. Тени от геометрических тел.

 

3.1 Тени от многогранников.

 

Для построения тени от многогранника необходимо найти тени от каждой из вершин данной фигуры. Например, построим тень от призмы (рис23).

Так как призма стоит на плоскости П₁ - тень от нижнего основания строить не нужно. Т.е. тени от точек нижнего основания: Е_П1 = E₁ ; F_П1 = F₁ ; G_П1 = G₁ ; K_П1= K₁ (совпадут с проекциями этих точек на плоскость П₁).

Строим тени от точек верхнего основания. Получим А_П1; В_П1; C_П1; D_П1- Соединив E_П1 с A_П1; F_П1 с В_П1; G_П1 с C_П1; K_П1 с D_П1 получим тени от ребер ЕА, FB, DK, CG. Соединив точки A_П1, В_П1, С_П1 и D_П1 получим тень от верхнего основания.

Основной линией обведем точки D_П1; C_П1; В_П1; F₁ = F_П1; E₁ = E_П1; K.₁ = К_П1 ; D_П1.Получим контур падающей тени.

Линию, ограничивающую падающую тень, называют контуром падающей тени. Грани призмы, к которым примыкает падающая тень, окажется в тени собственной. В нашем примере это грани DCGKD и BCGFB.

 

 

Рис.23

 

Тень от пирамиды (рис.24).

Для построения тени от пирамиды строим тень основания и вершины пирамиды. Соединив тени от точек основания с тенью от вершины - получим тени от ребер пирамид

Рис.24

 

Рассуждаем как в предыдущем примере, получим контур падающей тени: A_П11_X S_П22_XC_П1B_П1. Точки 1 _X и 2_Х - точки перегиба. В собственной тени находится грань ASC.

 

3.2 Тени от тел вращения.

 

Тень от цилиндра (рис25). .

Для построения тени от цилиндра строим тень от его верхнего и. нижнего оснований. Для получения падающей тени от боковой поверхности цилиндра проводим касательные к окружностям-контурам падающих теней верхнего и нижнего оснований. Контур собственной тени ограничен образующими АА' и ВВ', проходящими через точки касания А и В.

 

Рис.25

Тень от конуса (рис.26).

Для построения тени от конуса, строим тень от вершины конуса. Контур падающей тени ко­нуса ограничен прямыми, проведенными через точку (S_П1) касательно к основанию. Эти прямые представляют собой тени от образующих конуса SA и SB, ограничивающих контур собственной тени.

 

Рис.26

4. Построение падающей тени от здания.

 

Рис.27

 

Через характерные точки здания: углы карниза D, С, В и границу конька крыши (линии пересечения ее скатов) - точку Е-проводим проекции лучей. Определяем горизонтальные тени точек - D_П1; С_П1;В_П1;Е_П1 (рис.27).

Тени от углов здания (от прямых перпендикулярных к плоскости П₁) совпадут с горизонтальной проекцией луча. Лучи выходят из точек 1₁; 2₁; 3₁; 4₁ (горизонтальные проекции ребер здания). В результате получим контур падающей тени 1₁B_П1 C_П1 и т.д. Часть здания, примыкающая к падающей тени, будет находиться в собственной тени. В тени находится правая и задняя стены здания. Крыша освещена полностью, т.к. контур собственной тени проходит по свесам карнизов (ВС и CD), тень от точки Е - E_П1 попала внутрь контура падающей тени.

5. Тени на фасаде здания.

 

При построении тени на фасаде здания нужно:

1) Уметь строить точку пересечения прямой с плоскостью частного положения и с плоскостью общего положения. Т.е. определять точки пересечения лучей с вертикальными плоскостями фасада или с наклонными скатами крыши.

2) Пользоваться следующими правилами:

Если прямая перпендикулярна некоторой плоскости. то тень прямой на эту плоскость совпадет с направлением проекций луча на ту же плоскость. Если прямая параллельна некоторой плоскости. то тень прямой на эту плоскость будет параллельна самой прямой.

 

Для построения теней на чертежах фасадов зданий необходимо кроме чертежа фасада иметь также план здания в том же масштабе.

 

Тени элементов зданий.

 

Построение тени в нише (дверных и оконных проемов (рис.28 и рис.29).

 

Рис.28

Тень в нише, если ниша прямоугольная, будут давать прямые АВ и АС (рис28). Тени от этих прямых ограничивают падающую тень на плоскость ниши Т. Тень от АВ пойдет через точку А_Т параллельно АВ, а тень от АС - через точку А_Т параллельно АС, т.к. АВ и ВС параллельны плоскости Т. Получим тень от точки А на плоскость Т. Через проекцию точки А на П₁ (А₁) проведем горизонтальную проекцию луча S₁ до пересечения с плоскостью Т. Плоскость Т - горизонтально - проецирующая. Луч, пересекая плоскость Т в точке A_Т1 (см. построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью). Через проекцию точки А на плоскость П₂ (А₂) проведем фронтальную проекцию луча S_2. Из точки А_Т1 проведем линию связи до пересечения с S₂. Получим А_Т2 - тень от точки А на плоскость Т. Через точку А_Т2 проведем прямые параллельные прямым А₂В₂ и А₂С₂.

Если в нише арка полукруглая (рис.29), построение проводим аналогично. Построив тень от точки Ана плоскость ниши Т (как в предыдущем примере) проводим прямую параллельную вертикальному ребру ниши АВ. Чтобы

построить тень верхней части арки, нужно построить тень от центра окружности на плоскость ниши Т.Для этого через точку О₁ (проекция центра окружности на П₁) проведем S₁, через точку О₂ проведем S₂. Луч S₁ пересечет плоскость ниши в точке О_Т1. Далее по линии связи до пересечения с S₂. Получили О_Т2 - тень от центра окружности на плоскость ниши. Далее из точки О_Т2 радиусом, равным радиусу самой арки, проводим окружность.

 

Рис.29

 

Тень от козырька (рис.30).

Через проекции точек АВС... на плоскость П₁ и П₂ проведем проекции лучей S₁ на плоскость П₁ и проекции лучей S₂ на плоскость П₂. Точки Е, F, В лежат на плоскости фасада, тень от этих точек на фасад, будет совпадать с проекциями этих точек. Строим тень от остальных точек. Луч S₁, проходящий через точку D₁, пересечет плоскость фасада в точке D_Ф2. Далее проводим линию связи до пересечения с S₂, проходящему через точку D₂.Получим тень от точки D на плоскость фасада - D_ф2. Аналогично строим остальные точки. Получим падающую тень от козырька на фасад здания.

 

Рис.30

Тень от козырька над входом (рис.31).

 

 

 

Рис.31

 

 

1.Строим тень в дверном проеме (см. построение тени в нише).

2.Строим тень от козырька на плоскость фасада (см. построение тени от козырька).

3.Строим тень от козырька на плоскость ниши Т. Проецирующие лучи проводим до пересечения с плоскостью Т.

Обводим контур падающей тени козырька. Тень от козырька перегнется, т.к. она падает на разные плоскости.

 

Построение теней лестницы (рис.32).

Построим тень от стенок крыльца на ступени. Ребро крыльца АВ перпендикулярно плоскости П₁ и горизонтальным плоскостям ступеней. Таким образом тень от АВ на П₁ пойдет по лучу S₁.

Ребро АС перпендикулярно плоскости П₂ и перпендикулярно вертикальным плоскостям ступеней. Таким образом тень от ребра АС на плоскость П₂ пойдет по лучу S₂. Находим точки пересечения лучей S₁ и S₂ с соответствующими плоскостями ступеней.

 

 

Рис.32

 

 

Тень от крыши на плоскость стены (рис.33).

Для построения тени от фронтального свеса крыши, ограниченного спереди линиями а и b, достаточно найти тень от произвольной точки, принадлежащей этим линиям. Например, возьмем точку А (А₁, А₂), расположенную на коньке крыши.

Через точки A₁ и А₂ проведем проекции луча S₁ и S₂. Луч S₁ пересечет плоскость фасада в точке А_Ф1. Проведем линию связи до пересечения с S₂. Получим тень от точки А на плоскость фасада А_ф2.

Через точку А_ф2 проведем прямые параллельные ребрам свеса крыши а и b (т.к. а и b параллельны фасаду). Получим падающие тени от ребер свеса крыши а_ф2 и b_ф2.

 

 

Рис.33

 

Тень от свеса крыши основного здания на пристройку (рис.34).

 

 

Рис.34

 

 

Возьмем точку А, расположенную на коньке крыши и точки В и С на ребре крыши. Через проекции этих точек на П₁ и П₂ проведем проекции лучей S₁ и S₂. Луч, проходящий через точку А пересечет плоскость стены пристройки в точке A_α1. Из этой точки проведем линию связи до пересечения с S_2. Получим тень от точки А на плоскость стены пристройки α – А_α2. Аналогично получили тень от точки В – В_α2. Соединив точки А_α2 и В_α2 получим тень от кромки крыши АВ. Тень от прямой ВС пойдет по лучу, т.к. прямая ВС перпендикулярна плоскости стены пристройки, т.е. из точки С₂ проводим проекцию луча S₂ – это и будет тень прямой ВС.

Тень от свеса крыши (рис.35).

 

Рис.35

 

Для построения падающей тени от свеса крыши AD на плоскость Ф (стены) направим через угол свеса А луч света, который пересечет плоскость Ф в точке N₁. По линии связи найдем точку N₂. Через эту точку проведем прямую параллельную AD (т.к. свес крыши AD параллелен плоскости стены).

 

Тень от трубы на крышу (рис.36).

Плоскость ската крыши, на которую падает тень от трубы обозначим Р. Находим тень от вертикального ребра трубы 1-2. Тень от точки 1 будет в той же точке, так как она принадлежит плоскости Р. Для построения тени от точки 2 проведем через эту точку луч света и определим точку пересечения его с плоскостью Р.

С этой целью через луч проведем горизонтально проецирующую плоскость S, которая пересекает скат крыши Р по прямой АВ. В пересечении прямой АВ и луча, проведенного через точку 2, находится тень от точки 2-2_Р. Рассуждаем так же, как при построении точки пересечения прямой с плоскостью общего положения.

Построение начнем с плоскости П₁. Через точку 2₁ проведем S₁. Получим точки А₁и В₁. По линии связи находим А₂ и В₂. Через точку 2₂проводим S₂. При пересечении прямой А₂В₂ с S₂ получим точку 2_Р2. Проведем линию связи из точки 2_Р2 до пересечения с A₁В₁. Получим тень отточки 2 на П₁, т.е. 2_Р1

Аналогично строим тени от точек 3 и 4. Тень 4_Р-3_Р параллельна прямой 4-3, т.к. эта прямая параллельна плоскости

 

Рис.36

 

Тень от крыши основного здания на крышу пристройки (рис.37).

Плоскость ската крыши обозначим Р. На крыше возьмем точки 1,2,3. Построение проводим аналогично построению тени от точки 2 на плоскость крыши (см. тень от трубы на крышу).

Рис.37

6. Тени в аксонометрии.

 

Основные правила построения теней остаются в силе и при построении теней в аксонометрических проекция.

Направление светового луча рекомендуется определять диагональю куба (рис.38), грани которого совмещены с координатными плоскостями, а ребра построены с учетом коэффициента искажения.

Построение тени в аксонометрии проводим следующим образом. Построив аксонометрию сооружения, строим куб в той же аксонометрии, что и сооружение, например в косоугольной диметрии (рис.38).

 

Рис.38

 

Луч по П₁ - S₁ (вторичная проекция луча) пойдет по диагонали нижней грани куба. Луч в пространстве (S) будет проходить по диагонали куба. Чтобы построить тень от точки А:

1) Находим ее проекцию на П₁ (ее вторичную проекцию). В нашем примере А₁.

2) Через А₁ проводим S₁.

3) Через точку А в пространстве проводим S (луч в пространстве).

4) На пересечении S₁ и S получим А_П1 – тень от точки А на плоскость П₁.

 

1. Построим тень в аксонометрии от параллелепипеда. Параллелепипед построен в косоугольной диметрии (рис.39).

Рис.39

 

Параллелепипед стоит на плоскости П₁ .Поэтому строить тень от нижнего основания мы не будем. Построим тень от верхнего основания. Найдем проекции точек А, В, С, D на плоскость П₁. Затем через проекции точек на П₁ (A₁, B₁, C₁, D₁) - проведем S₁ (перенесем параллельно из построенного в косоугольной диметрии куба). Через точки в пространстве проведем S (S перенесем параллельно из построенного в косоугольной диметрии куба). На пересечении S и S₁, проведенных через каждую точку, получим А_П1, В_П1, С_П1, D_П1. Соединив Е_П1 и А_П1 В_П1 и G_П1, C_П1 и К_П1, D_П1 и L_П1, получим тени от вертикальных ребер. Ребра АЕ; BG; СК и DL перпендикулярны плоскости П₁, таким образом тени от этих ребер пойдут по проекции луча на П₁. AD, ВС, АВ и CD параллельны П₁, таким образом тени от этих ребер A_П1D_П1; В_П1С_П1; А_П1В_П1; D_П1C_П1 параллельны самим прямым. Обведем контур падающей тени –L_П1D_П1A_П1B_П1G_П1. Грани ADLE, ABGE параллелепипеда, прилегающие к падающей тени, будут находиться в собственной тени.

 

2. Тень от конуса в изометрии (рис.40).

1) Строим аксонометрию конуса.

2) Строим куб в изометрии.

3) Определяем направление лучей S₁ и S.

4) Находим вторичную проекцию вершины конуса (C₁)

5) Через проекцию вершины на П₁ через точку C₁ проводим S₁ (берем параллельно S₁ в кубе).

6) Через вершину конуса С проводим S.

7) На пересечении S и S₁ получим С_П1 - тень от вершины конуса на горизонтальную плоскость.

8) Тень от основания не строим, т.к. конус стоит на плоскости П₁.

1.Из точки С_П1проводим касательные к основанию. Получим тень от конуса на П₁.

9) Собственная тень будет ограничиваться образующими СА и ВС.

 

Рис.40

3 Построение падающей тени от здания (рис.41).

 

Здание построено в изометрии.

1) Строим куб в изометрии, для выбора направлений луча S₁ и S₂.

2) Через вторичные проекции точек A, D, С, В, Е - A₁, D_1,С₁ ,В₁, E₁ проведем S₁.

3) Через точки D, С, В, Е – проведем S.

4) На пересечении S₁S - выходящих из точек, получим тени точек A, D, С, В, Е на плоскость П₁.

5) Тени от углов зданий (от прямых перпендикулярных к плоскости П₁) совпадут со вторичной проекцией луча S₁, выходящего из точек 1₁; 3₁; 4₁.

6) Обведем контур падающей тени.

Тень от прямой АВ - А_П1В_П1 параллельна самой прямой, т.к. АВ параллельна П₁. Аналогично ВС параллельна B_П1C_П1; AD параллельна A_П1D_П1; ED параллельна E_П1D_П1.

 

Рис.41

4 Тень в нише (рис.42).

 

Тень от левого откоса АВ на плоскость П₁ пойдет по S₁, т.к. АВ перпендикулярна П₁. Пройдя по плоскости П₁ тень от АВ перегнется на плоскость Т в точке А_Т1. Далее, т.к. АВ параллельна плоскости ниши Т, тень от АВ пойдет параллельно самому откосу АВ. Тень А_Т от точки А на плоскость Т находится в точке пересечения луча света S, проведенного через А, с плоскостью Т.

Рис.42

 

Через точку А_Т проведем тень от прямой АС. Тень от прямой АС параллельна самой прямой, т.к. АС параллельна плоскости Т.

 

.5 Тень от козырька (рис.43).

Через проекции точек D, А, С на плоскость П₁ проведем лучи S₁. Луч, проходящий через точку D₁, пересечет плоскость стены Ф в точке D_Ф1 через точку А - в точке А_Ф1 через точку С - в точке C_Ф1. Далее по линии связи до пересечения с лучами S, выходящими из точек D, А, С получим точки D_Ф, А_Ф, С_Ф. Тени от точек Е, F, В не строим, т.к. они лежат в плоскости стены, т.е. Е = Е_Ф; F = F_Ф, В = В_Ф. Соединив Е_Ф, D_Ф, С_Ф, А_Ф - получим тень от козырька.

Рис.43

6 Тень от крыши на плоскость стены (рис.44).

 

 

 

Рис.44

 

 

Для построения тени от фронтального свеса крыши, ограниченного спереди линиями а и b находим тень от точки А, расположенную на коньке крыши. Через точку А₁ проводим S₁, далее по линии связи до пересечения с S, выходящим из точки А. Через точку А_Ф проведем прямые а_Ф и b_Ф, параллельные ребрам свеса крыши а и b, получим тень от ребер свеса крыши а и b.

 

7 Тень от трубы на крышу (рис.45)

Для построения тени необходимо построить вторичные проекции как крыши, так и трубы. Затем проводим лучевые плоскости. Проведем лучевую плоскость β через ребро трубы 1-2. След плоскости β на предметной плоскости совпадает со вторичной проекцией луча S₁ (прямая A₁B₁, проходящая через точку 1₁ = 2₁). Далее построена линия пересечения плоскости β и заданного ската Р. Это прямая АВ. Из точки 2 проведем луч S до пересечения с прямой АВ. Получим тень от точки 2 на плоскость Р. Тень от точки 1будет в той же точке, т.к. она принадлежит плоскости Р, т.е. 1 = 1_Р. Соединим 1_Р и 2_Р получим тень от ребра трубы 1-2. Аналогично строим и тени от остальных ребер трубы.

 

 

 

 

Рис.45

 

Рассмотрев ряд примеров мы видим, что при построении тени в ортогональных проекциях и в аксонометрии в принципе выполняются одни и те же построения.

 

7. Тени в перспективе от естественного источника освещения.

 

Для удобства построения рекомендуется угол наклона лучей к предметной плоскости принимать равным 45°. Световые лучи параллельны плоскости картины. Принцип построения теней в перспективе такой же, как в ортогональных проекциях и в аксонометрии. Тень от точки, падающая на поверхность, будет в точке пересечения луча света с поверхностью, например: А' - перспектива точки A, A₁' - вторичная проекция точки А. Через точку А' проводим луч света (под углом 45° к основанию картины) через точку А₁' проведем S₁ - параллельно основанию картины. Место пересечения луча и его вторичной проекции определит тень A_П1 на предметную плоскость (рис.46).

Рис.46

 

Далее рассмотрим пример построения тени в перспективе. Рассуждать будем так же, как при построений тени в аксонометрии. Отличие в том, что направление лучей S и S₁ в аксонометрии зависит от типа аксонометрии, а в перспективе мы проводим S₁ параллельно основанию картины, a S под углом 45° к основанию картины.

 

Построение падающей тени от здания.

Построение падающей тени от здания проводим аналогично построению тени от здания в аксонометрии (п. 3).

 

 

Рис.47

 

Рекомендуемая литература.

 

 

1. Анисимов Н. Н., Кузнецов Н. С.Ю., Кириллов А. Ф. Черчение и рисование. - М. : Стройиздат, 1983.

2. Балягин С. Н. Брилинг Н. С, Симонин С. И. Справочник по строительному черчению. - М. : Стройиздат, 1987.

3. БудасовБ. В. Строительное черчение. -М.: Стройиздат, 1990.

4. Короев Ю. П. Инжерно - строительное черчение и рисование, - М.: Высшая школа, 1983.

5. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия. - М. : Высшая школа, 2000.

6. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия . - М.: Высшая школа, 1981.

Приложение