Программа

Выборочное наблюдение как важнейший источник статистической информации. Генеральная и выборочные совокупности, их обобщающие характеристики. Репрезентативность выборки. Повторный и бесповторный отборы. Средняя и предельная ошибка выборки. Определение необходимой численности выборки. Доверительные интервалы. Виды выборки.

Комбинирование различных способов отбора и оценка результатов выборки. Понятие о малой выборке, определение ошибок при малой выборке.

Применение выборочного наблюдения в экономических и социальных исследованиях.

 

Выборочным называется такое наблюдение, при котором характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой части единиц, отобранных в случайном порядке. Вся изучаемая совокупность единиц называется генеральной совокупностью. Численность единиц генеральной совокупности обозначается N. Часть совокупности, которая в случайном порядке выбирается из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью. Число единиц в выборочной совокупности обозначается n.

Необходимость выборочного наблюдения обусловлена следующими причинами:

- иногда выборочное наблюдение - единственно возможное статистическое наблюдение (изучение продолжительности горения лампочки);

- выборочное наблюдение требует меньше времени, труда, а, следовательно, и денег по сравнению со сплошным наблюдением;

- при выборочном наблюдении совершается меньше ошибок, поэтому информация более достоверна;

- выборочное наблюдение используется для контроля результатов сплошного наблюдения.

Основное условие проведения выборочного наблюдения: отбор единиц из генеральной совокупности в выборочную должен производиться в случайном порядке. Это условие обеспечивает объективность результатов, т.е. независимость результатов от лиц, производящих отбор.

Исходная статистическая совокупность может изучаться по количественному и альтернативному признаку. Если признак количественный, обобщающими характеристиками генеральной совокупности являются генеральная средняя и генеральная дисперсия.

Аналогично, обобщающими характеристиками выборочной совокупности являются выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Если совокупность изучается по альтернативному признаку, то характеристикой генеральной совокупности является доля единиц. При изучении качества продукции определяют относительную долю тех единиц, которые не выдерживают установленного стандарта качества, т.е. относятся к браку. Доля единиц в генеральной совокупности: - генеральная доля. Доля единиц в выборочной совокупности: - выборочной доля (частость).

При проведении выборочного наблюдения даже теоретически нельзя получить абсолютно точные данные, как при сплошном наблюдении. Это обусловлено тем, что обследованию подвергается не вся совокупность, а только ее часть. Поэтому при проведении выборочного наблюдения неизбежна некоторая погрешность, ошибка.

Ошибки, свойственные выборочному наблюдению, называются ошибками репрезентативности, т.е. представительства. Они характеризуют величину расхождения между данными выборочного наблюдения и всей совокупности.

Ошибки репрезентативности делятся на случайные и систематические. Систематические ошибки возникают в результате нарушения принципа случайности отбора единиц совокупности для наблюдения. Случайные ошибки возникают потому, что выборочная совокупность недостаточно точно воспроизводит всю совокупность из-за не сплошного характера наблюдения.

В зависимости от способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную различают повторный и бесповторный отбор.

При повторном отборе вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, т.к. после того, как некоторая единица была отобрана, она снова возвращается в генеральную совокупность и снова может быть выбранной. При бесповторном отборе единицы после отбора и регистрации изучаемого признака в генеральную совокупность не возвращаются. Вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется. При соблюдении принципа случайного отбора ошибка выборки зависит от численности выборки. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки.

Ошибка выборки определяется также степенью варьирования изучаемого признака, а степень варьирования характеризуется в статистике средним квадратом отклонений - дисперсией или величиной р(1-р) (для альтернативного признака). При одинаковой численности выборочной совокупности ошибка выборки будет меньше в той совокупности, которая отобрана из генеральной совокупности с меньшей изменчивостью изучаемого признака.

Ошибка выборки - это абсолютная величина разности между соответствующими характеристиками выборочной и генеральной совокупности. - ошибка для средней. - ошибка для доли. Как и сама выборочная характеристика, ошибка выборки является случайной величиной. Пользуясь теоремой Ляпунова, можно указать вероятность Р того, что ошибка выборки не превысит некоторую заданную величину . Вероятность Р при этом называют доверительной вероятностью, а пределы, в которых с этой вероятностью может находиться генеральная характеристика, называют доверительными пределами или границами генеральной характеристики.

Наиболее простым является расчет ошибки выборки при так называемом повторном случайном отборе, при котором отобранная единица после обследования возвращается в генеральную совокупность и вновь участвует в отборе на равных основаниях с другими единицами.

Средняя ошибка выборки для количественного признака имеет вид:

отбор повторный: , где - ошибка выборочной средней; - дисперсия варьируемого признака в генеральной совокупности; n - численность единиц выборочной совокупности. В практических расчетах вместо генеральной дисперсии используют выборочную;

отбор бесповторный: , где - доля единиц, отобранных в выборку (процент выборки); N - численность единиц генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборки для альтернативного признака имеет вид:

отбор повторный: .

отбор бесповторный:

Средняя ошибка выборки показывает, какие возможны отклонения характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности. Однако о величине этой ошибки можно судить с определенной вероятностью. На величину вероятности указывает множитель t – коэффициент доверия. Величину tm в функции Лапласа называют предельной ошибкой выборки. Обозначив предельную ошибку выборки D, получим для количественного признака .

Предельная величина разности между частостью и долей (предельная ошибка выборки для альтернативного признака) определяется по следующему выражению . Выборочное наблюдение дает возможность определить среднюю арифметическую выборочной совокупности и величину предельной ошибки этой средней , которая показывает (с определенной вероятностью), насколько выборочная средняя может отличаться от генеральной средней в большую или меньшую сторону. В этом случае величина генеральной средней будет представлена интервальной оценкой, для которой нижняя граница будет равна: ( ), верхняя граница: ( ).

Доверительный интервал:

- для генеральной средней ,

- для генеральной доли: .

Приведенные формулы для определения величины ошибки выборки дают возможность не только определять эти ошибки, но и предварительно рассчитать, какую необходимо взять численность выборки, чтобы ошибка не превышала заданных размеров.

В практике при проектировании выборочного наблюдения всегда заранее определяют его численность. Для этого необходимо с определенной вероятностью задать уровень точности выборочной совокупности и на основании формулы предельной ошибки выборки рассчитывают численность выборочной совокупности. Так, для количественного признака при повторном отборе объем необходимой численности выборки можно получить путем преобразования формулы:

. Отсюда: .

Таким образом, необходимая численность выборки при измерении средней для повторного отбора равна дисперсии, деленной на квадрат заданной точности. Под точностью понимается допустимая ошибка выборки.

При определении необходимой численности выборочного обследования по приведенным формулам возникает затруднение, т.к. мера варьирования признака или его доля заранее неизвестны и будут определены лишь после проведения выборочного обследования. Между тем, без этих величин нельзя определить необходимую численность выборки.

На практике поступают следующим образом: вместо s или w подставляют приближенное значение, полученное из предыдущих обследований или на основе каких-либо пробных выборочных наблюдений.

При этом исходят из того, что чем больше величина s или чем ближе доля признака приближается к 0.5, тем большую численность выборки необходимо взять при той же заданной точности. Поэтому для предосторожности при всякого рода сомнениях принимают наибольшее значение из этих величин.

Пример 1. В цехе завода имеется 2000 рабочих. Для определения затрат времени на изготовление одной детали проведено выборочное обследование. Установлено, что среднее квадратическое отклонение затрат рабочего времени на изготовление одной детали составляет 10 минут. Определить, какое количество рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0.954 ошибка выборки не превышала 2-х минут. 1.Отбор повторный. 2.Отбор бесповторный.

Решение. Численность единиц генеральной совокупности (численность рабочих завода) N составляет 2000 человек.Необходимо найти число единиц в выборочной совокупности (количество рабочих в выборке) для повторного и бесповторного отбора. Исходная статистическая совокупность изучается по количественному признаку. В зависимости от способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную различают повторный и бесповторный отбор.

При повторном отборе вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, т.к. после того, как некоторая единица была отобрана, она снова возвращается в генеральную совокупность и снова может быть выбрана. Ошибка выборки также определяется степенью варьирования изучаемого признака, который характеризуется в статистике средним квадратическим отклонением.

В задании определена величина среднего квадратического отклонения s = 10 мин., из которого можно получить величину дисперсии . В исходных данных приведено значение предельной ошибки выборки – 2 минуты.

Предельная ошибка выборки вычисляется по формуле: , где t - коэффициент доверия, который определяется в зависимости от заданной вероятности Р по таблицам Лапласа. При заданной вероятности Р = 0.954, коэффициент доверия t = 2. В формуле предельной ошибки выборки - средняя ошибка выборки, которая для повторного отбора определяется по формуле: , где - дисперсия варьируемого признака в генеральной совокупности; n - численность единиц выборочной совокупности. Учитывая, что предельная ошибка выборки =2, можно рассчитать среднюю ошибку выборки: = 2 : 2 = 1 (мин.).

Находим численность выборки n при повторном отборе, исходя из формулы средней ошибки выборки ; исходя из предельного значения ошибки выборки . Таким образом, при повторном отборе, чтобы с вероятностью 0.954 ошибка выборки не превышала 2-х минут, необходимо отобрать из генеральной совокупности 100 рабочих.

При бесповторном отборе единицы после отбора и регистрации изучаемого признака в генеральную совокупность не возвращаются. Численность генеральной совокупности N уменьшается, вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется.

При бесповторном отборе средняя ошибка выборки вычисляется по формуле: , где - доля единиц, отобранных в выборку (процент выборки); N - численность единиц генеральной совокупности.

Исходя из формулы предельной ошибки выборки, необходимая численность выборки при бесповторном отборе будет равна:

.

Таким образом, при бесповторном отборе, чтобы с вероятностью 0.954 ошибка выборки не превышала 2-х минут, необходимо отобрать из генеральной совокупности 95 рабочих.

В практике статистических исследований в последнее время часто приходится иметь дело с небольшими по объему выборками (исследование деятельности малых и средних предприятий, коммерческих банков, фермерских хозяйств). Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 10.

Разработка теории малой выборки была начата английским ученым Госсетом (псевдоним Стьюдент), в которой он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

Для определения возможных пределов ошибки пользуются критерием Стьюдента: , где - мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке. Величина s вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна . Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки s в генеральной совокупности.

При небольшой численности выборки распределение Стьюдента отличается от нормального: большие величины критерия имеют здесь большую вероятность, чем при нормальном распределении. Предельная ошибка малой выборки в зависимости от средней ошибки может быть представлена: . В малых выборках величина коэффициента доверия вычисляется несколько иначе, чем при больших выборках. Существуют специальные таблицы Стьюдента, по которым определяется коэффициент доверия.

В статистике применяются различные способы формирования выборочных совокупностей. Основным условием проведения выборочного обследования является предупреждение возникновения систематических ошибок. Предупреждение систематических ошибок достигается в результате применения научно обоснованных способов формирования выборочной совокупности.

Практика применения выборочного метода в экономико-статистических исследованиях использует следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности: индивидуальный отбор, групповой отбор, комбинированный отбор. Различные формы организации выборочного наблюдения представлены ниже.

1. Собственно случайный отбор (лотерея, жеребьевка). Выборочная совокупность образуется в результате случайного отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц определяется, исходя из принятой доли выборки. Собственно случайный отбор может быть повторным и бесповторным.

2. Нерайонированный и районированный отбор. При районированном отборе генеральная совокупность разбивается на группы и из каждой группы отбираются отдельные единицы (предприятия разбиваются по отраслям и от каждой отрасли отбирается определенный процент предприятий). Районированный отбор всегда бесповторный. При нерайонированном отборе генеральная совокупность на группы не разбивается. Нерайонированный отбор может и повторным, и бесповторным.

3. Механический отбор. Генеральная совокупность упорядочивается по определенному (нейтральному) признаку, а затем через определенные интервалы выбираются единицы в выборочную совокупность (фамилии студентов упорядочиваются по алфавиту, а затем упорядочивается каждый пятый, десятый студент с интервалом в пять единиц). Механический отбор всегда бесповторный.

4. Типический отбор. Применяется для качественно разнородной генеральной совокупности. Сначала производят типологическую группировку единиц генеральной совокупности (разбивают ее на качественно однородные совокупности), затем из образованных групп производят отбор.

5. Серийный отбор. При серийном отборе единицы отбираются сериями, например: 1-5, 100-105 и т.д.

6. Многофазная выборка. Этот вид выборки проводится в несколько этапов. Все предприятия отрасли исследуются по сокращенной программе, затем из всех выбирается каждое пятое предприятие отрасли и изучается по более развернутой программе, затем изучается каждое десятое предприятие отрасли и описывается детально.

7. Многоступенчатый отбор. Проводится в несколько ступеней, на каждой из них своя единица отбора. Например, при обследовании бюджета населения, доходов и расходов все семьи распределяются по областям, из всех областей выбираются 15 (единица отбора - область); для каждой отобранной области отбираются населенные пункты (единица отбора - населенный пункт); для каждого отобранного населенного пункта отбираются семьи (единица отбора - семья).

Таким образом, способы формирования выборочной совокупности выступают в качестве важнейшего фактора, который определяет репрезентативность выборочного обследования.

Пример 2. При изучении покупательского спроса произведено 10%-ное выборочное обследование продажи игрушек. При случайном способе отбора получены следующие данные распределения игрушек по возрастному признаку.

 

Возраст детей	До 3-х лет	3-6	6-9	9-12	12-15	Свыше 15	Всего
Кол - во игрушек

 

Определить: с р = 0.954 возможные пределы значений доли продажи игрушек для детей от 3-х до 15-ти лет; с р = 0.997 возможные пределы значения среднего возраста детей, для которых покупаются игрушки.

Решение. При случайном способе отбора выборка может быть повторной и бесповторной.

1. Доля продажи игрушек - альтернативный признак; возможные пределы значений доли продажи игрушек - доверительный интервал для альтернативного признака , где w - частость.

.

- предельная ошибка выборки, где t - коэффициент доверия, находится по таблицам Лапласа. При вероятности 0.954 коэффициент доверия равен 2. - средняя ошибка выборки для альтернативного признака. Средняя ошибка выборки для альтернативного признака при повторном отборе имеет вид: , = ± 0.015; при бесповторном отборе: , где - доля единиц, отобранных в выборку; N - численность единиц генеральной совокупности. = ±0.0148.

Предельная ошибка выборки при повторном отборе: = 2×(±0.015) = ±0.03; при бесповторном отборе: = 2×(±0.0148) = ±0.0296.

Доверительный интервал для генеральной доли:

- при повторном отборе: ;

- при бесповторном отборе: .

Вывод: с вероятностью 0.954 можно утверждать, что возможные пределы доли продажи игрушек будут находиться в генеральной совокупности при повторном отборе от 65% до 71%, при бесповторном отборе – от 65.78% до 72.02%.

2. Значение среднего возраста детей – количественный признак. Возможные пределы значения среднего возраста детей в генеральной совокупности будут определяться из доверительного интервала: , где - выборочная средняя; - предельная ошибка выборки для количественного признака; t - коэффициент доверия (при вероятности 0.997 коэффициент доверия равен 3); - средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки для количественного признака имеет вид:при повторном отборе: , где - дисперсия варьируемого признака в генеральной совокупности; n - численность единиц выборочной совокупности; при бесповторном отборе: . Для нахождения выборочной средней и дисперсии составим рабочую таблицу.

 

Возраст детей	Кол - во игрушек	x	xf
0 – 3 3 – 6 6 – 9 9 – 12 12 – 15 15 – 18 Всего		1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 -	220.5 697.5 2062.5 7558.5	7.5 4.5 1.5 1.5 4.5 7.5 -	1102.5 697.5 937.5 3823.5	8268.75 3138.75 292.5 2794.5 7031.25 21930.75

 

Средний возраст детей, для которых покупают игрушки в выборке составляет: = 7556.5 : 875 = 9 лет.

Дисперсия = 21930.75 : 875 = 25.06 @ 25.

Средний возраст детей в генеральной совокупности будет находиться в пределах .

При повторном отборе: ; .

При бесповторном отборе: ; .

Вывод: с вероятностью 0.997 можно утверждать, что средний возраст детей в генеральной совокупности будет колебаться при повторном отборе от 8.52 до 9.48 лет; при бесповторном отборе от 8.55 до 9.45 лет.

 

Лекция 7.Тема «Выборочное наблюдение» (ВН) является одной из центральных в курсе статистики. Это обусловлено взаимосвязью данной темы с другими темами данного курса, высшей математики и теории вероятностей. Поэтому освоение теоретического материала, умение правильно решить практические задачи, грамотно интерпретировать полученные результаты служат необходимым условием успешного изучения статистики. Теоретическая основа темы обусловлена практическими вопросами, требующими своего решения при организации выборочного наблюдения и анализе его результатов. Таким вопросами являются определение способа отбора и процедуры выборки, вычисление ошибок выборки и построение доверительных интервалов; определение необходимой численности выборки.

Практическое занятие 5.Решение задач по теме.

Задание 1.При изучении покупательского спроса произведено 5%-е выборочное обследование продаж картин известного художника. При случайном способе отбора получены следующие данные о распределении проданных картин по цене.

 

Цена, руб.	До 300	300 - 500	500 - 700	700 - 900	900 и выше	Всего
Число картин

 

На основе данных выборочной совокупности определить для генеральной совокупности:

- с вероятностью 0.954 возможные пределы значений доли продажи картин по цене от 300 до 700 рублей;

- с вероятностью 0.997 возможные пределы значения средней цены картин.

 

Задание 2.При изучении уровня безработицы среди различных групп населения города Нижнего Новгорода было проведено 5%-е выборочное обследование. При случайном способе отбора в выборку взято 700 человек, из которых 120 оказались безработными. Средний возраст составил 28 лет, а среднее квадратическое отклонение ± 2 года. Определить:

- с р = 0.954 пределы, в которых находится генеральная доля безработных.

- с р = 0.997 пределы, в которых находится средний возраст опрошенных.

 

Задание 3.При проведении социологического опроса по вопросу о доверии депутату был проведен 10%-й выборочный опрос. При этом были получены следующие данные о доверии депутату в зависимости от возраста.

 

Возраст людей	До 20 лет	20 - 30	30 - 40	40 - 50	Свыше 50 лет	Всего
Кол-во человек

 

С вероятностью 0.997 определить значение среднего возраста людей в генеральной совокупности, которые доверяют данному депутату.

 

Задание 4.Из общего числа (30000) читателей библиотек города произведено выборочное обследование 3000 читателей, отобранных методом случайного бесповторного отбора.

Читатели	Группы читателей по количеству прочитанных книг, шт.	Итого
500 - 600	600 - 700	700 - 800
Детектив
Романы
Приключения
Итого

 

Принимая во внимание, что произведена случайная выборка, определить для генеральной совокупности:

- с р = 0.997 возможные пределы среднего количества прочитанных книг;

- с р = 0.954 возможные пределы доли детективов среди прочитанных книг.

 

Задание 5.Обследование предпочтений телезрителей дало следующие результаты по возрастным группам аудитории двух сериалов "Бандитский Петербург" и "Граница", показанных на РТР и НТВ

 

Возраст	До 20	20-30	30-40	40-50	50-60	Свыше 60	Всего
ОРТ
НТВ

 

Определить для генеральной совокупности: с вероятностью 0.954 возможные пределы значений доли возрастной аудитории до 20 лет; с вероятностью 0.997 возможные пределы значений среднего возраста аудитории. Прокомментировать различия в среднем возрасте между двумя группами.

Самостоятельная работа: написание эссе, составление кроссворда, составление алгоритма.

Подробное изложение материала по теме представлено в основной литературе обязательная - [2,7,10], 7 – стр.80 - 98, - дополнительная - [8, 9].

Для закрепления теории необходимо ответить на основные вопросы:

1. В чем преимущество ВН по сравнению с другими методами статистического исследования.

2. Назовите этапы выборочного наблюдения.

3. Какие виды ошибок выборочного наблюдения вы знаете. Что такое ошибка репрезентативности.

4. В чем отличие ошибок выборки при повторном и бесповторном отборе.

5. Как определяются ошибки выборки для количественного и альтернативного признаков.

6. Как определяется предельная ошибка выборки для количественного признака.

7. Как определяется средняя ошибка выборки при определении генеральной доли при повторном и бесповторном отборе.

8. Какие факторы влияют на определение объема выборки при различных способах отбора.

9. Какие способы формирования выборочной совокупности вы знаете.

10. Какой вид выборочного наблюдения необходимо использовать, если генеральная совокупность не является однородной.

11. Назовите основные области применения выборочного метода.