Глава 6. Метод наименьших квадратов.

Пусть функция задана таблично. Чаще всего это бывает при проведении экспериментальных исследований, когда значения функции непосредственно измеряются или вычисляются при проведении эксперимента.

В этом случае результаты записываются в таблицу, где первая строчка – значения независимой переменной х, а вторая – значения измеряемой переменной у.

 

Х	x1	x2	…………………..	xn
Y	y1	y2	…………………………….	yn

 

Требуется найти аналитическое выражение , наилучшим образом описывающее имеющиеся экспериментальные данные.

На практике общий вид аналитического выражения обычно известен, а необходимо найти только неизвестные коэфициенты.

Проще всего эта задача решается для случая линейной зависимости, т.е. в том случае, когда есть основания считать, что

(6.1)

Во многих случаях линейное приближение является достаточным. Эффективно это означает следующее: в формуле Тейлора отброшены все члены, кроме первых двух слагаемых

(6.2)

 

Найдем неизвестные коэффициенты в выражении (6.1) методом наименьших квадратов.

Суть метода состоит в следующем: искомая прямая должна проходить так, чтобы было минимальным суммарное отклонение прямой от экспериментальных точек. Для этого вводится функция двух переменных S(a,b), задающая сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от точек, лежащих на прямой. На рис. 5 экспериментальные значения обозначены черным, красным – прямая линия, коэффициенты a, b которой мы должны найти, отклонения показаны черными линиями. Минимизировать надо именно квадраты отклонений, так как сами отклонения имеют разные знаки и сумма их равна нулю.

Тем самым, подставив в (6.10) известные значения из таблицы, мы вычислим соответствующие координаты точек, лежащих на прямой (красные точки на рис. 6) и вычисляем квадраты разности между и .

(6.2)

Функция достигает минимума, если ее частные производные по a и b равны нулю. Вычислим производные и приравняем их нулю

Или, раскрывая скобки, получим систему двух уравнений для нахождения чисел a и b

 

 

Рис. 5. Метод наименьших квадратов.

Аналогично можно искать аппроксимирующую функцию вида

Пример.Даны экспериментально полученые пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде

 

	4,2	5,0	3.9	2,7	2,4

 

Метод наименьших квадратов позволяет найти коэффициенты а и b линейной функции Для этого составляется функция S(a, b)

и определяется, при каких значениях коэффициентов достигается минимум функции S. Минимум достигается в стационарной точке, в которой обе частные производные обращаются в ноль.

 

или

Составим расчетную таблицутаблицу

 

№	xi	yi	xi2	xi· yi	у=f(xi)
		4,2		4,2	4,9
		5,0		10,0	4,3
		3,9		11,7	3,7
		2,7		10,8	3,0
		2,4		12,0	2,4
сумма		18,3		48,7

 

Подставим полученные выражения в систему

 

а = - 0,62 b = 5,52

 

Искомое уравнение y = - 0,62 x + 5.52

 

Подставим в это уравнение х_i из таблицы, полученные значения занесены в последний столбец таблицы.