Глава 3. Дифференциалы функции двух переменных

 

Полным дифференциалом df(x,y) функции f(x,y) называется выражение

 

(3.1)

 

Напомним, что по определению для независимых переменных Δx=dx, Δy=dy.

Частным дифференциалом по переменной х называется следующее выражение

(3,2)

Аналогично определяется частный дифференциал по переменной у

 

(3.3)

Следовательно

(3.4)

Полное приращение функции двух переменных, вызванное приращением ее аргументов, отличается от полного дифференциала на бесконечно малую функцию более высокого порядка малости, чем приращения аргументов Δх и Δу, т.е.

 

Dz = Df(x,y) = df(x,y) + a(Δx, Δy) (3.5)

 

В этой связи на практике при небольших изменениях аргументов приращение функции заменяют на ее полный дифференциал. Если значение f(x₀,y₀) известно, но неизвестно f(x₁,y₁) = f(x₀+Dx, y₀+Dy), то приближенное значение функции удобно вычислять при помощи полного дифференциала.

 

(3.6)

Пример1. Найдем полный дифференциал функции .