Глава 2. Частные производные

 

 

Частной производной от функции двух переменных f(x,y) по переменной х при y = y₀ называется предел, при Δх стремящемся к нулю, отношения частного по х приращения функци к вызвавшему его приращению аргумента Δх (если этот предел существует и конечен). Так как y₀ любое фиксированное число из области допустимых значений, то его можно заменить на просто у. Тогда

 

 

Частная производная от функции f(x,y) по переменной y определяется и обозначается аналогичным образом

 

 

То есть, при вычислении частной производной от функции двух переменных f(x,y) по х второй аргумент y выступает как величина постоянная. Если же вычисляется частная производная по y, то х принимается постоянной величиной.

 

Пример 1. Вычислить частные производные z_x¢ и z_y¢ от функции

 

f(x,y) = x³y² + sin x - 4y.

 

Решение. В соответствии с определением, имеем

 

f_x¢(x,y) = 3x²y² + cos x и f_y¢(x,y) = 2x³y - 4.

 

Частная производная от f(x,y) тоже является функцией двух переменных и от нее вновь можно вычислять частные производные и так далее.

Функция двух переменных имеет следующие вторые производные:

- вторая производная от f(x,y) по х дважды

 

 

- вторая производная от f(x,y) по y дважды

 

 

- вторая смешанная производная от f(x,y) по x и по y

 

 

- вторая смешанная производная от f(x,y) по y и по х.

 

для функций, имеющих непрерывные частные производные второго порядка, смешанные производные второго порядка совпадают

Пример 2 (продолжениепримера 1). Вычислить вторые производные для функции

 

f(x,y) = x³y² + sin x - 4y.

 

Решение. Применяя правила дифференцирования, получим

z_xx¢¢ = (3x²y² + cos x)_х’ = 6xy² - sin x,

z_yy¢¢ = (2x³y – 4)_y’ = 2x³,

z_xy¢¢ = (3x²y² + cos x)_y’ = 6x²y = z_yx¢¢.

 

Теперь не представляет труда решение задачи о вычислении производных любого порядка.

Пример 3. Вычислить четвертую производную, причем одну по х и три по y для функции

 

f(x,y) = 2x⁴ ּ lny - cos(x + y³) + x³

 

В соответствии и правилами дифференцирования сложных функций и функций многих переменных имеем:

 

 

Производные от функций большего числа производных вычисляются по тем же правилам.

Пример 4.Пусть дана функция четырех переменных f(x,y,z,t)

 

f(x,y,z,t) = xz³t² + yz² cos(y³ - t).

 

Решение.Вычислим вторую смешанную производную по аргументам z и t