Глава 1. Функции двух переменных. Основные определения. Приращения функции.
Пусть на плоскости ХY задана область D. Каждой точке М этой области соответсвует упорядоченная пара чисел (х, у) - ее координаты.
Если каждой упорядоченной паре чисел (х, у) поставлено в соответствие по закону f число z, то говорят, что задана функция двух переменных
z = f (x, у) (1.1)
Область D называется областью определения функции. Множество Z ={z} образует область значений функции. График функции f(x,y) - поверхность в пространстве (рис 1), эту поверхность часто обозначают σ. Проекция поверхности σ на плоскость XOY и есть область D.
Рис.1. Функция двух переменных.
Функция двух переменных может быть также задана в виде таблиц.
Аналогично задается функция трех и более переменных. Физически, например, функцию трех переменных u = f(x,y,z,) можно интерпретировать как плотность вещества в объемной области D.
Следует заметить, что функции двух переменных являются самым простым и наглядным случаем среди всех функций многих переменных и поэтому обычно подробно рассматриваются. Полученные при этом свойства остаются верными и для функций произвольного числа переменных.
Если на оси Z нанести масштаб, и провести через точки деления плоскости, перпендикулярные оси Z, то поверхность σ разделится на части. На каждой линии сечения поверхности σ плоскостью функция z = f (x, у) будет постоянной величиной. Линии сечения проектируют на плоскость ХY и называют линиями уровня (рис. 2).
Рис. 2. Линии уровня.
Функция z = f (x, у) называется непрерывной в точке М0(x0, y0), если имеет место равенство
и точка М(x, y) стремится к М0(x0, y0) оставаясь все время в области определения функции. Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной во всей области.
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает там своего наименьшего m и наибольшего M значений.
Приращения функции двух переменных.Выберем в области определения функции точку М0 с координатами x0 и y0 т.е. М0(x0, y0) и точку М1 с координатами x1 и y1 М1(x1, y1) (рис.3). вычислим в этих точках значения функции z0 = f(x0, у0) и z1 = f(x1, у1) .
Рис. 3. Приращения функции двух переменных.
Полным приращением функции двух переменных Δz называется разность ее значений в точках М1 и М0
. (1.2)
Сделаем дополнительное построение. Построим точку М2(x1, y0) и М3(x0, y1). Частным приращением по аргументу х Δхz называется разность значений функции в точках М2 и М0
, (1.3)
а частным приращением по аргументу у Δуz называется разность значений функции в точках М3 и М0
. (1.4)
Сумма частных приращений, в общем случае, не совпадает с полным приращением.
