Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

 

= - (3.8)

Пример 2. Вычислить

Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х’=1, то целесообразно, используя (3.8) положить u = x. Тогда

 

=

Замена переменной в определенном интеграле. Во многих случаях подынтегральное выражение можно упростить, если заметить, что его часть является дифференциалом некоторой функции. Тогда по аналогии с формулой (3.1) раздела 5 можно записать

 

= (3.9)

 

где x = j(t), j(a) = a, a=j^-1(a) ; j(b) = b, b = j^-1( b).

 

Пример 3. Вычислить .

Решение. Положив ln(х) = t, имеем dx/x = dt.

 

Если х = 1, то t = ln 1 = 0, если х = е, то t = ln е = 1. Тогда

 

 

 

Глава 5. Приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоских фигур. Как уже отмечалось, если f(x) ³ 0 на отрезке [a,b], то определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, и x = b.

 

(5.1)

Если на [a,b] функция, как показано на рис.5.1, меняет знак, то необходимо вычислить интеграл от модуля подинтегральной функции.

 

(5.2)

 

Это означает, что если на отрезке [а,с] Ì [a,b] функция f(x) < 0, то на этом отрезке берется отрицательное значение функции

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.1. Вычисление площади при помощи определенного интеграла

 

 

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс и синусоидой на отрезке [0,2p].

Решение.Поскольку sin(x) ³ 0 на отрезке [0, p] и sin(x) £ 0 на [p,2p], то искомая площадь S равна

 

S = - (cosp - cos0) + (cos2p -

- cosp) = -(-1 -1) +( 1 + 1) = 4.

 

В более общем, случае требуется вычислить площадь плоской фигуры ограниченной несколькими кривыми линиями. В этом случае искомая площадь есть алгебраическая сумма площадей нескольких криволинейных трапеций. Например, как показано на рис.5.2

 

 

 

Рис. 5.2. Вычисление площади плоской фигуры.

 

 

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями y₁=½x - 2½ и y₂ = (рис. 5.3).

 

Рис. 5.3.

Решение.Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение

 

y₁(х) = y₂(х)

 

Возведем в квадрат левую и правую часть

 

или ; .

 

Учтем, что .

Следовательно

 

 

Вычисление длины дуги. Пусть некоторая гладкая плоская кривая описывается функцией f(x) и отрезку [a,b] оси абсцисс отвечает дуга AB. Произвольным образом разобьем эту дугу, как показано на рис.5.4 на n частей точками M₀, M₁, ..., M_n. Получим элементарные дуги. Соединив каждые две соседние точки прямой, получим вписанную в дугу AB ломаную линию. Длину звена ломанной Dl_i , лежащую между точками М_i M_i+1 , где М_i(x_i, f(x_i)), М_i+1(x_i+1, f(x_i+1)) находим по формуле

 

 

 

 

Длина элементарной дуги М_i M_i+1 примерно равна Dl_i

 

. (5.3)

 

Просуммируем (5.3) по всем элементарным дугам, тогда длина L дуги АВ равна

 

Рис. 5.4. Длина дуги.

 

 

Выражение, стоящее в правой части равенства является интегральной суммой. При бесконечном увеличении числа точек разбиения , проводимого произвольным образом, если каждый раз длина самой большой элементарной дуги r будет стремится к нулю ,то длина ломаной будет неограниченно приближаться к длине дуги. Тогда длина дуги L плоской кривой

 

(5.4)

 

Если кривая задана в параметрическом виде: х = j(t), y = y(t) (a£ t £b), то длина кривой вычисляется по формуле

 

(5.5)

Пример 1.Найти длину дуги кривой y² = x³ , заданной на отрезке от x = 0 до x = 1 (y ³ 0).

Решение. . Подставляя затем этот результат в (5.4), получим

 

 

Пример 2. Найти длину дуги кривой x = a cos³t, y = a sin³t, если t изменяется 0 до p/2.

Решение. Вначале находим производные по t

 

x¢(t) = -3a cos²tּsint, y¢(t) = 3a sin²tּcost

 

Подставляя в формулу (5.5), имеем

 

 

Вычисление объемов тел. Пусть дано тело переменного сечения, расположенной над осью ОХ (рис.5.5), ограниченное плоскостями х = а и х = b. Объем тела обозначим за V. Разделим отрезок [a,b] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

 

x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_{i -1}< x_i <... < x_n = b.

 

В точках деления проведем плоскости, перпендикулярные оси ОХ. Тело разделится на n узких слоев (элементарных объемов) шириной Δx_i = x_i - x_i-1 (i = 1, 2…n). Объем каждого такого слоя обозначим как Δ V_i. На каждом промежутке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку . Обозначим за S(x*_i) площадь поперечного сечения тела в этой точке. Тогда

 

(5.6)

 

 

Рис. 5.5. Объем тела переменного сечения.

 

 

Просуммируем (5.6) по всем i , получим интегральную сумму

 

(5.7)

 

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δx_i, т.е. ранг дробления r должен стремится к нулю. Тогда объемтела переменного сечения V,будет равен пределу интегральной суммы при и

 

(5.8)

 

Если тело получено при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ОХ (рис. 5.6), то . В этом случае объем тела V вычисляется по формуле

 

Рис. 5.6. Объем тела вращения.

 

(5.9)

 

Пример. Вычислить объем тела, полученного при вращении кривой y = sin(x) вокруг оси ОХ .