Глава 3. Вычисление определенного интеграла

 

Теорема. Первообразная как интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то функция Ф(х) = , где , дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф¢(x) = f(x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f(x). Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем приращение аргумента Dх столь малым, чтобы точка х + Dх лежала внутри отрезка [a,b], и найдем приращение функции Ф(х) (рис. 3.1), приращение обозначено зеленым цветом).

 

DФ(х) = Ф(х + Dх) - Ф(х) = =

Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему о среднем

DФ(x) = = f(с)Dx, где с Î [x, x+Dx].

Рис. 3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

Следовательно, = f(с). Поскольку f(x) непрерывна и с ® x , если Dх ® 0, то Поэтому производная функции Ф(х) равна f(x)

. (3.1)

 

А так как производная функции Ф(х) равна f(x), то, по определению первообразной, Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f(x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f(x) .

Этот факт показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление представляет собой нечто единое и известен, как основная теорема математического анализа.

 

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка

(3.2)

 

Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную

 

Ф(x) = = F(x) + C. (3.3)

 

 

Константу С легко выразить через значение первообразной F(х) в точке а. Действительно принимая во внимание, что

 

Ф(а) = = 0 (3.4)

из (3.4) получим:

 

- F(a) = C. (3.5)

 

Поскольку

 

Ф(b) = , (3.6)

 

то, подставив (3.5) и (3.6) в (3.3) получим основную формул математического анализа - формулу Ньютона – Лейбница

 

(3.7)

 

где F(x) - первообразная для функции f(x), а - знак подстановки Ньютона. Этот знак означает, что сперва в функцию F(x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию вычисленную в точке нижнего предела.

Формула (3.5) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. . Следовательно, по формуле (3.7)

 

При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.