Глава 1. Площадь криволинейной трапеции.

 

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная непрерывная функция f(x). На плоскости XOY, как показано на рис.1.1, график этой функции, отрезок оси абсцисс и прямые x = a и y = b образуют криволинейную трапецию, площадь такой криволинейной трапеции равна S.

Разделим отрезок [a,b] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

 

x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_{i -1}< x_i <... < x_n = b.

 

В точках деления проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ. Криволинейная трапеция разделилась на n узких криволинейных трапеций (элементарных трапеций) шириной Δx_i = x_i - x_i-1 (i = 1, 2…n). Площадь каждой такой элементарной трапеции обозначим как Δ S_i.

На каждом промежутке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку , вычислим в точке функцию . Каждую i-ю полоску заменим на соответствующий прямоугольник, высота которого равна . Тогда площадь

Рис. 1.1. Криволинейная трапеция.

 

Сумма площадей полученных прямоугольников приближенно равна площади исходной криволинейной трапеции.

 

S » . (1.1)

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δx_i. Эту длину называют рангом дробления и обозначают r , т.е. r = max Δx_i ® 0 при n ® ¥. При этом погрешность при вычислении площади будет стремиться к нулю и в пределе мы получим площадь криволинейной трапеции, т.е.

= S (1.2)

Сумму, стоящую в выражении (2.2) называют интегральной суммой.